2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义：专题七 遇到确定特殊图形怎么作辅助线.docx
专题七遇到确定特殊图形怎么作辅助线
7.1确定等腰三角形
知识储备
1.等腰三角形的判定
(1)定义：两边相等的三角形.
(2)等角对等边：如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边相等.
2.等边三角形的判定
(1)定义：三个边相等的三角形.
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3.分类讨论思想
(1)定义：由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想.
分类讨论的原则：不重、不漏.
(2)由于等腰三角形的特殊性(两边相等)，故在确定何为腰时，要进行分类讨论.
超级模型
基本图形
已知条件
已知两点A，B，求作点C，使A，B，C三点所构成的三角形为等腰三角形
辅助线作法
分别以A，B为圆心，AB长为半径画圆，作线段AB的垂直平分线.简称“两圆一线定等腰”
可用结论
两圆及垂直平分线上的任意点(直线AB上的点除外)与A，B都可以构成等腰三角形
理论依据
等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，圆的定义
例题详析
例：如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角形时，点A的坐标为.
【解析】如图.
当OP=PA时,A?(4,0);
当OP=OA时,OA=OP=5,故
当OA=PA时,设A?点的坐标为(x,0),则x2=2-x2+1,解得x=5
综上所述，点A的坐标为(4，0)或50或-50
跟踪训练
对|点|巩|固
1.已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画()
A.3条B.4条C.5条D.6条
2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°,，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有个.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()
A.4B.5
C.6D.7
4.图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形的顶点上；
(2)在图2中画出以AC为腰的等腰△ADC，点D在小正方形的顶点上，且△ADC的面积为8.
5.已知二次函数y=ax2+bx-3a的图象经过点.A-10,C03,
(1)求此二次函数的解析式.
(2)连接DC,BC,DB,求证:△BCD是直角三角形.
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7.2确定直角三角形
知识储备
1.直角三角形的判定
(1)定义：有一个角是直角的三角形.
(2)勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两条边的平方和，等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
2.直角的作法
(1)作垂直.
(2)直径所对的圆周角是直角.
超级模型
基本图形
已知条件
已知两点A，B，求作点C，使A，B，C三点构成直角三角形
辅助线作法
分别以A，B为垂足作线段AB的垂线，以AB为直径作圆.简称“两线一圆定直角”
可用结论
两垂线及圆上的任意点(直线AB上的点除外)与A，B都可以构成直角三角形
理论依据
直角的作法
例题详析
例:如图,在平面直角坐标系中,点A(0,8),点B(4,0),连接AB,点M,N分别是OA,AB的中点,在射线MN上有一动点P.若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是.
思|维|路|径
【解析】∵点A(0,8),点B(4,0),.∴OA=8,OB=4,∴AB=45
∵点M,N分别是OA,AB的中点,
∴AM=OM=4,MN=2,AN=BN=2
①当∠APB=90°时,
∵AN=BN,∴PN=AN=25,
∴PM=MN+PN=2
②当∠ABP=90°时,
如图,过P作PC⊥x轴于C,则△ABO∽△BPC,