同济大学高等数学第七版1-7无穷小比较.ppt

* 1. 无穷小的比较 2. 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 同阶(等价)无穷小; 无穷小的阶. 小结 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢, * 无穷小的比较 利用等价无穷小替换求极限 第七节 无穷小的比较 * 一、无穷小的比较 * 无穷小+无穷小=无穷小 无穷小-无穷小=无穷小 无穷小×无穷小=无穷小 但： =？ 无穷小 无穷小 如, 是无穷小. 如何比较两个无穷小？？ * 0.01 0.0001 0.1 0.01 … … 0.001 0.000001 例 考察 时， 趋于零的快慢 定义 记作 是同一过程中的两个无穷小, 高阶的无穷小; 低阶的无穷小; b a , 设 . 0 1 a 且 a b 是比 就说 无穷小的比较 同阶无穷小; * 定义 记作 是同一过程中的两个无穷小, 等价无穷小, b a , 设 . 0 1 a 且 无穷小的比较 k 阶无穷小. * 所以当x ?0时，3x 2是比x 高阶的无穷小， 即3x 2=o(x)( x ?0)． 例 比较无穷小： 所以当x ?0时，1-cos x 与x2 的同阶无穷小。 当x ?0时，1-cos x 是x 的二阶无穷小。 * * * * * * 二、利用等价无穷小替换求极限 定理1 ). ( a a b o － = 即 两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小，反之亦然。 原因？ 他们太接近了，所以它们的差远远小于它们之中的任何一个。 定理1 ). ( a a b o + = * 定理1 证 因此 设 则 因此 设 则 ). ( a a b o + = * 例 所以 所以 所以 所以 , ~ arcsin x x = x arcsin ), ( x o x + * 定理2 证 (等价无穷小替换定理) 定理2 (等价无穷小替换定理) 替换意义？？ 复杂 简单 * 将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x ? 0 时 * 例2 解 * 解: 例3 求 * 求 练习 解 * 例4 解 解 错 注：加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换. * 例5 解 * 求 例6 解 * 求 例7 解 * 练习 解