同济大学高等数学第七版1.4__无穷小与无穷大详解.ppt

问：如何定义 以上定义如何修改？ M-X 定义 问：如何定义 以上定义如何修改？ 见教材37页, 题 5 填空： 当 时， 是无穷大 当 时， 是正无穷大 填空： 当 时， 是负无穷大 当 时， 是正无穷大 不存在 两个基本极限： 两个基本极限： 定理 2 （无穷大与无穷小的关系） 无穷大与无穷小有倒数关系。 直观记忆 例如 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 无穷小与无穷大 一、无穷小 定义 1 无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0为极限的函数（或变量）。 无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示 无穷小的 ε-δ 定义 1.4 无穷小与无穷大 * 无穷小的例子 下列函数何时为无穷小？ 下列函数何时为无穷小？ 注意： (1) 任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小，如 0.01, 0.0000023。 (2) 0 是唯一的无穷小常数。 (3) 无穷小必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷小。 如 是无穷小 但 不是无穷小 定理 1 （极限与无穷小的关系） 证 以极限 为例。 以下定理说明了无穷小的重要性 直观地看，应当有 是无穷小 α(x) 是无穷小 此定理表明：在自变量的某个变化过程中， 这就是讨论无穷小的意义之一。 定理 1 （函数极限与无穷小的关系） 二、无穷大 (Infinity) 例 考察当 时，1/x 的变化趋势。 当 时， 可以大于任何正数 M 例如 使得，当 时，就有 无论它多么大！ 称 1/x 为 时的无穷大，记作： 所以 的刻划需要两个正数： M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大: |f(x) | M 。 δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时( |x - x0 | δ )，就能保证 f(x)的绝对值大于事先任意给定的 M 。 定义 2 无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）。 的定义： 使得，当 时，就有 严格地说， 表明极限 不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷大。 注意： (1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大。 (2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷大。 例2 证明： 分析 要 只要 要 只要 得 所以 证明： 要 证 只要 使得，当 时，就有 所以 铅直渐近线 水平渐近线 若 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线