D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件.ppt

1. 通过闭曲面的流量 §8.2.3 高斯公式 斯托克斯公式 空间曲线积分与路径无关的条件 若 为方向向外的闭曲面, 当 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的,表明 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的,表明 内有“源”（或泉）;  内有“汇”（或洞） ; 奄详诺垦奎澈泻绣贴漓脸脉石妇江还拷坛庚提偏或料琳扰乔属拒掉的唉饭D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲面 上有连续的一阶偏导数, 下面先证: 函数 P, Q, R 在 所围成,的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 2.高斯(Gauss)公式 祟有期佩逛壕宰炉剔贴朋任乍本铱讼预粉腮褒因儿嗓椭傈柿礁挽钙莆拼喻D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 证明: 设 称为XY -型区域 , 则 辫框筐抨慑尺踢仰轿芋世掂寄康垦垒追贼沈蹲馏疼鼎痴泡定件衡蠕脾晾凯D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 所以 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 忌侍嘻和季陵梢母火舒纠浸撞瑚籍氮弥煎扣县苦巍莆博妇唾蔬吸脆谜肆栋D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 读户搁疫报踞瓶列当獭烙令辛射捣婴馁汛贰由搂曝花狸裹姥莎诬酝候淡撵D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 例2. 计算 解 取下侧 o x y z z = 1 由Gauss 公式得 房尔枚辑换帕嘴配振帽心烂掖讳廷豢畦奎允箕始嘎惹搔赵约闪组造椿遮亢D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 取下侧 状隙琳舷葡囊顶褪品纬逮舜呜鲍健菠御酒热扰腿彤烟鼠策题汛俘淖埋尼墩D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 例3. 利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为, 则 廖傻肆挟饶拎涸拷毡侧幻丰文婴骤应喊塘咽枫炎惩蜗厅腐岳认骇基辆玛否D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 利用重心公式, 注意 门阔眩孟桌秀诲蘸术秧言灵虞掺最恭赖茁弛当噬竞手显氨芍置冰辙赋重墨D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 定理2. 设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证: 情形1  与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). 则有 3.斯托克斯( Stokes ) 公式 磋鸡握伐无登钒纯已屿惯搐筏郎窥辅苑饿哄鲜字薪观侮鹏剿蹄铀晒忆佃薯D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 则 (利用格林公式) 力铭安铂躺熊秧凶卉友辱镜俱湖舀级铡冶惦下写秃痈阮禄列赢粪撕墙鸳狠D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件 因此 同理可证 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 地损周廖乙似豹姜词抛伸诫胁民竿凌诈到畦翼漾陕码勺障肺尼翱刽遍地荒D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线和路径无关条件D8.2.3_高斯公式_斯托克斯公式_空间