5.1不定积分一原函数数学中的各种运算及其逆运算都是客观规律的.doc

5.1　不定积分 一 原函数 数学中的各种运算及其逆运算都是客观规律的反映，换言之，都与实际问题紧密相联. 例如，在第二章中，已知物体的运动规律，求它在某一时刻t的瞬时速度，则有，这是导数解决的问题.但有时候由于实际问题的要求不同，则是已知物体的瞬时速度，求物体的运动规律，而.显然这是求导的逆运算问题. 引例 已知，求 ， 求 解 根据求导公式，所以，2，所以，那么我们把，，分别称为，的一个原函数. 定义5.1 设函数在某区间上有定义，如果存在函数，对，有，或，则称函数是已知函数在区间上的一个原函数. 据定义5.1 ，即是的一个原函数，但，即有无限多个原函数.（为任意常数） 为此我们又提出下列问题： 1 一个函数如果有原函数，有多少个？ 2 这无限多个原函数是否都具有这种形式？ 3 这种形式唯一吗？ 定理 5.1 若是函数在区间上的一个原函数，则的无限多个原函数仅限于的形式. 证明 设是在上的任意一个原函数，由定义5.1， （1） 已知是在区间上的一个确定的原函数，则 （2） （1）－（2）得： 口 二 不定积分 定义5.2 若是函数在区间上的一个原函数，则的全体原函数为（）称为在该区间上的不定积分，记，即. 其中“”称为积分符号，“”称为被积函数，“”称为被积表达式，“”称为积分变量，“”称为积分常数. 例 1 求下列不定积分 （1） （2） 分析 由定义可知，求上述问题的不定积分主要是先求一个原函数 ，然后再加 积分常数c即可.而求，则是根据导数公式的反用而得出.因为.由引例可知. 解 据初等函数的连续性及初等函数求导的处理方法，你能否预测一下，下面将要解决什么问题？ 求已知函数不定积分的运算，称为积分运算.这种方法称为积分法. 三 不定积分的性质 由不定积分定义可知，求不定积分与求导数（或求微分）是两种互逆运算，它们的互逆关系是 1 或 即先求不定积分后求导数（或后求微分），则两者的作用相互抵消. 2 或 即先求导数（或求微分）后求积分，则两者的作用抵消后还留有积分常数c. 3 ，（为不等于零的常数 即被积函数的常数因子可以提到积分号外边. 事实上 . 4 即两个函数代数和的不定积分等于每个不定积分的代数和. 事实上 这个法则可以推广到n个（有限个）函数，即n个函数代数和的不定积分等于n个函数不定积分的代数和，即 . 因为积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公式中的每个公式反过来就得到下列不定积分的公式表： 1 ，其中k是常数； ； 2 ，其中是常数，且； 3 ，； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10 ； 11 ； 12 求函数的不定积分最后都要归结为上述不定积分表所列的这些初等函数的不定积分，因此读者应牢记会用上述不定积分表所列的公式. 应用不定积分法则和不定积分公式能够求一些简单函数的不定积分. 例2 求 解 = == = 注 等式右端的每个不定积分都有一个任意常数，因为有限个任意常数的代数和还是一个任意常数，所以上式只写一个任意常数c即可. 例3 求 解 == = 例4 求 解 = == 例5 求 解 = == 例6 求 解 == == 四 不定积分的几何意义 若 是的一个原函数，则称的图形是的积分曲线.因为不定积分是的全体原函数，所以它对应的图形是一族积分曲线，称之为曲线族. 积分曲线族的特点是： 1 积分曲线族中任意一条曲线，可由其中一条，例如，曲线沿轴平行移动个单位而得到.当0时，向上移动；当0 时，向下移动. 2 由于，即横坐标相同点处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于，从而使相应点的切线相互平行.如图5-1所示.这就是不定积分的几何意义. 例7 已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的倒数的2倍，且过（1，2）点，求此曲线方程. 解 设所求曲线方程为. 由题意，得,所以,将条件代入上式中得.于是所求曲线为. 例8 设一质点的速度作直线运动，开始时质点的位移为，求质点的运动规律. 解 质点的运动规律是指位移是时间的函数. 由题意 ,所以 .将条件代入上式中，得.于是质点运动规律为. 不定积分的运算法则与微分的运算法则相比较，缺少哪种运算法则？你能从例2--例5中找一些原因吗？ 习题5-1 1．在下列12个函数中，其中6个是另外6个的原函数。 ；；2；1-；；； ；；；；；. 验证2-3题中的函数是同一个函数的原函数 2.；；c. 3.；. 求4-23题的不定积分 4. .