数值分析迭代法的收敛性.ppt

第21页,共32页，星期六，2024年，5月第22页,共32页，星期六，2024年，5月下面对一些特殊的系数矩阵给出几个常用的判断收敛的条件。定义：若n阶方阵A=(aij)满足且至少有一个i值，使上式中不等号严格成立，则称A为弱对角占优阵。若对所有i，不等号均严格成立，则称A为严格对角占优阵。第23页,共32页，星期六，2024年，5月例如：矩阵是严格对角占优阵矩阵不是严格对角占优阵第24页,共32页，星期六，2024年，5月设有线性方程组Ax=b，下列结论成立：若A为严格对角占优阵，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。2.若A为严格对角占优阵，0ω≤1，则松弛法收敛。3.若A为对称正定阵，0ω2，则松弛法收敛.即：若A是对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为0ω2。第25页,共32页，星期六，2024年，5月归纳判断迭代法收敛的方法如下：1.首先根据方程组的系数矩阵A的特点判断；2.可根据迭代矩阵的范数判断；3.只好根据迭代矩阵的谱半径判断.第26页,共32页，星期六，2024年，5月三、举例例1：设有方程组Ax=b，其中讨论用三种迭代法求解的收敛性。第27页,共32页，星期六，2024年，5月解：首先Ａ不是对角占优阵，但Ａ是对称阵，且其各阶顺序主子式均大于０，故Ａ为对称正定阵，由判别条件３可得Gauss-Seidel法与松弛法(0ω2)均收敛。又因为Jacobi迭代法的迭代矩阵为故||B||1=||B||∞=1，因此不能用范数判断。第28页,共32页，星期六，2024年，5月下面计算迭代矩阵的谱半径。解特征方程可得谱半径故Jacobi迭代法不收敛。第29页,共32页，星期六，2024年，5月值得注意的是：改变方程组中方程的顺序，即将系数矩阵作行交换，会改变迭代法的收敛性。例2：设方程组Ax=b的系数矩阵为则Jacobi法与Gauss-Seidel法的迭代矩阵分别是其谱半径分别为第30页,共32页，星期六，2024年，5月故这两种迭代法均不收敛。但若交换两个方程的次序，得原方程组的同解方程组显然Aˊ是严格对角占优阵，因此对方程组用Jacobi法和Gauss-Seidel法均收敛。第31页,共32页，星期六，2024年，5月例3：设A=(aij)是二阶方阵，且a11a22≠0.试证求解方程组Ax=b的Jacobi法与Gauss-Seidel法同时收敛或发散。证明：Jacobi迭代矩阵为其谱半径为第32页,共32页，星期六，2024年，5月复习：1、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算；设A为方阵，Au=λu(u≠0)即λ是方程|λE-A|=0的根2、矩阵的特征值与特征向量的性质3、Ak=AA…A的特征值是第2页,共32页，星期六，2024年，5月一、迭代法的谱半径称迭代公式中的矩阵B为迭代矩阵.定义1：定义2：设A为n阶方阵，λi(i=1,…,n)为A的特征值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为称为矩阵A的谱.第3页,共32页，星期六，2024年，5月性质：若矩阵A的谱为谱半径为则Ak=AA…Ak个的谱为(k=1,2,…)谱半径为第4页,共32页，星期六，2024年，5月定理：设A为任意n阶方阵，||.||为任意由向量范数诱导出的矩阵的范数，则证明：对A的任一特征值λi及相应的特征向量ui，都有因为ui为非零向量，即||ui||≠0，于是有由λi的任意性得第5页,共32页，星期六，2024年，5月定理：设A为n阶方阵，则对任意正数ε，存在一种矩阵范数||.||，使得（证明省略）注：对n阶方阵，一般不存在矩阵范数||.||，使得但若A为对称矩阵，则有第6页,共32页，星期六，2024年，5月下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要.定理：设A为n阶方阵，则的充要条件为证明：必要性:若则而于是由极限存在准则，有故第7页,共32页，星期六，2024年，5月充分性:若取则存在一种矩阵范数||.||，使得而于是所以第8页,共32页，星期六，2024年，5月二、迭代法的收敛条件定理：对任意初始向量x(0)和右端项g，由迭代格式x(k+1)=Mx(k)+g产生的向量序列收敛的充