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613迭代法的收敛性.pptx

发布:2020-02-23约小于1千字共17页下载文档
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一阶定常迭代法的收敛性设解线性方程组的迭代格式将两式相减,得:一阶定常迭代法的收敛性则:因此迭代法收敛的充要条件可转变为一阶定常迭代法的收敛性 定理:迭代格式 收敛的充要条件为:即:B的谱半径根据矩阵与其Jordan标准形及特征值的关系 定理:迭代格式 收敛的充要条件为:一阶定常迭代法的收敛性 定理:设B为n阶实矩阵,则 的充要条件是一阶定常迭代法的收敛性例:判别下列方程组用Jacobi迭代法和G-S法求解是否收敛。一阶定常迭代法的收敛性解: (1) 求Jacobi法的迭代矩阵一阶定常迭代法的收敛性所以即Jaobi迭代法收敛。一阶定常迭代法的收敛性(2) 求Gauss-Seidel法的迭代矩阵所以Gauss-Seidel迭代法发散。 定义:如果矩阵A的元素满足 则称A为严格对角占优矩阵。特殊方程组迭代法的收敛性问题:该矩阵具有怎样的特点?结论:该矩阵是严格对角占优阵特殊方程组迭代法的收敛性 定理:若线性方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵,则解该方程组的Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。证:(1)对于Jacobi迭代法,其迭代矩阵为由定理:谱半径小于任何一种算子范数Jacobi迭代法收敛(2)对于G—S迭代法,其迭代矩阵为即从而因此由于可得矛盾G—S迭代法收敛特殊方程组迭代法的收敛性 例:当a满足条件 时,线性方程组 雅克比迭代解一定收敛。 解:当线性方程组的系数矩阵为对角占优阵时,Jacobi迭代法收敛,所以|a|6。补充例题 例:方程组 (1)写出解该方程组的Jacobi迭代的迭代阵,并讨论迭代收敛的条件; (2)写出解该方程组的G-S迭代的迭代阵,并讨论迭代收敛的条件。补充例题 例:AX=b为二元线性方程组, 证明:解该方程组的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或同时发散。
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