第5节_迭代法的收敛性.ppt

第三章 线性方程组求解的数值方法 迭代法收敛性 收缩映射原理（Contraction Principle）： 线性方程组迭代法收敛性 线性方程组迭代法收敛性 线性方程组迭代法收敛性 线性方程组迭代法收敛性 线性方程组迭代法收敛性 线性方程组迭代法收敛性 线性方程组迭代法收敛性 迭代法收敛性： 迭代法收敛性： 迭代法收敛性： SOR迭代收敛性： 特殊矩阵收敛性的判定： Gauss-Seidel迭代收敛性： Gauss-Seidel迭代收敛性： Gauss-Seidel迭代收敛性： Gauss-Seidel迭代收敛性： Gauss-Seidel迭代收敛性： 线性方程组迭代法收敛速度 线性方程组迭代法收敛速度 线性方程组迭代法收敛速度 线性方程组迭代法收敛速度 迭代法收敛速度 迭代法算法结构-Matlab 迭代法算法结构-Matlab 迭代法算法低级语言实现 迭代法算法低级语言实现 迭代法算法低级语言实现 Matlab语言实现和低级语言实现比较 习题 习题 习题 总结： 总结： 作业： 课后作业： 思考题：1，2，4，8 习题：4，6，7 实验题：4 单调递增 单调递减 A = [2, 1; 1, 2] B = eye(2) for iii = 1 : 1000 a = iii / 500; a = a - 0.5; M = B - a * A; p = eig(M); QQ(iii) = max(abs(p)); end x = 1 : 1000; x = x / 500; x = x - 0.5; plot(x, QQ) 解法二：数值求解 线性方程组解法： 直接法：Gauss法、全主元、列主元、LU，Cholesky法 范数 向量范数概念，1、2、∞范数计算； 矩阵范数的概念； 算子范数的概念， 1、2、∞范数计算、相容性等性质。 病态问题 概念，与算法稳定性的关系； 系数误差和解误差的关系； 条件数：概念、计算； 迭代法解线性方程组： 迭代法的概念；迭代法解方程的原理； Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法：写出迭代公式 迭代法收敛性-压缩映射原理、 线性方程组迭代方程收敛的充分必要条件 特殊矩阵的收敛性 收敛速度 迭代性分析方法 迭代法程序结构。 * 课程回顾 迭代法的原理； 迭代法的构造； 迭代法的关键问题； 分形 迭代法解线性方程组： 最简单方法 最有效方法 Jacobi方法 Gauss-Seidel方法 SOR方法 问题：如何评价不同迭代方法的优劣？ 第五节 迭代法的收敛性 证明： 收缩映射 谱半径 第1步迭代与第k步迭代关系。 注：Gauss-Seidel法为SOR法的特例。 三种算法收敛性各有优劣。 注意：L、U 前有负号 上述两种算法计算M矩阵过程运算量小于矩阵A求逆。 Jacobi算法： Gauss-Seidel算法： SOR算法： 高级语言中需要进行求逆运算、计算谱半径，实际工程中可能找不到相关库函数。 低级语言实现无需计算矩阵求逆，但是无法事先判断迭代是否成功，另外迭代终止条件存在误差,迭代过程中计算量较大。 *