最新37第七节-迭代法及其收敛性.ppt

数学学院 信息与计算科学系 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 第七节 迭代法及其收敛性 一、迭代法的一般格式 所谓迭代法就是对任意给定初始近似 按某种 规则逐次生成序列 使极限 为方程组Ax=b 的解，即 前面介绍了解线性方程组Ax=b的一些直接方法，下面介绍解方程组的另一类方法—迭代法。 　　把矩阵A 分解成矩阵N 和P 之差，即 　　　　　　　　　 A=N-P 其中N为非奇异矩阵，于是，方程组 Ax=b 便可以表示成 　　　　　　　　　Nx=Px+b 即有 其中 据此，我们便可以建立迭代公式 其中B称为迭代矩阵。 　　若序列｛x(k)｝收敛，即 显然有 此极限 x＊就是方程组 Ax=b 的解。 　　定义1　如果序列｛x(k)｝的极限存在(记 x＊)，则称迭代法收敛，x＊就是方程组 Ax=b 的解，否则称此迭代法发散。 　　由范数的等价性可以推出，矩阵序列｛A(k)｝依某种范数收敛，则依任何一种范数它都收敛，故下面不强调是在那种范数意义下收敛。 　　定义2　如果 则称矩阵序列｛A(k)｝依范数收敛于A，记 二、迭代法的收敛性 定理1 1） 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ? lim Bk=O； 2） 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ? ?( B )1。 证 1）　设 lim x(k) =x*， 则 x* = Bx* + f , x(k+1) -x*= B( x(k) -x*)， x(k) -x*= Bk( x(0) -x*) ， 故 lim x (k) =x* ? lim Bk=O； 　 2）? 由1)知，迭代格式收敛 ? lim Bk=O ，即lim||Bk||=0 ，从而存在 k ，使 || B k || 1，由谱半径的性质有 [?( B )]k = ?(B k )? ||B k ||1， 故得 ?( B )1， 　? 因?(B)=inf{||B||?}且?(B)1，存在 ? 0及?使 || B ||?? ?( B )+? 1， 又 || Bk||?? ||B||?k ，有 lim||Bk||?=0 ， 故 lim B k =0，由1）知，迭代格式收敛。 　　考察误差向量 e(k) =x(k) -x＊=Bk · e(0) 设B有n个线性无关的特征向量及相应的特征值为 由 得 可以看出，当?(B)1愈小时，　　　　　　 愈快，即　　　　愈快，故可用?(B)来刻画迭代法收敛速度的快慢。 三、迭代法的收敛速度 　　现在来确定迭代次数k，使 取对数得 　　定义3　称 为迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛速度。 　　由此看出，当?(B)1愈小，速度R(B)就愈大，所需要的迭代次数也就愈少。 数学学院 信息与计算科学系 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是 33243 热都是