数值计算方法第讲迭代法的收敛性和稳定性分析.ppt

及一阶定常迭代法 迭代法的收敛性与稳定性 迭代法的收敛速度 则 且设迭代法收敛，即对任取 ，记 　　由定理3证明中可知，如果 且 越小时，迭代法收敛越快. 现设有方程组 由基本定理有 ，且误差向量 满足 迭代法的收敛性与稳定性 迭代法的收敛速度 故 　　现设B为对称矩阵，则有 下面确定使初始误差缩小 所需的迭代次数, 即使 取对数，得到所需最少迭代次数为 此式说明，满足精度所需迭代次数与 成反比，当 越小， 越大，则满足所需迭代次数越少，即迭代法收敛越快. 迭代法的收敛性与稳定性 迭代法的收敛速度 　 称 为迭代法 的渐近收敛速度，简称迭代法收敛速度. 定义 5 　　对于SOR迭代法希望选择松弛因子? 使迭代过程收敛较快，在理论上即确定最佳因子?opt使 　　对某些特殊类型的矩阵，建立了SOR方法最佳因子理论. 例如，对所谓具有“性质A”等条件的线性方程组建立了最佳松弛因子公式 其中 为解 的Jacobi迭代法的迭代矩阵的谱半径. 迭代法的收敛性与稳定性 迭代法的收敛速度 　　 若Jacobi 迭代矩阵J 为非负矩阵，则下列关系有一个且仅有一个成立： (1) ?(J)=?(G)=0； (2) 0?(G)?(J)1； (3) ?(J)=?(G)=1； (4) 1?(J)?(G). 　　说明：当Jacobi 迭代矩阵J为非负矩阵时, Jacobi方法和 Gauss—Seidel 方法同时收敛或同时发散, 若为同时收敛, 则后者比前者收敛快. 定理 迭代法的收敛性与稳定性 迭代法的收敛速度 已知方程组 判断雅可比迭代法和高斯—塞德尔法的敛散性？ 因为雅可比迭代矩阵 例6 迭代法的收敛性与稳定性 迭代法的收敛速度 故Jacobi 迭代法收敛. 　　再由定理的(2)或由 A 对称正定知 Gauss—Seidel迭代法也收敛，且比 Jacobi 迭代法收敛得快. 迭代法的收敛性与稳定性 迭代法的收敛性举例 讨论用三种迭代法求解的收敛性。 例 7 因A为对称且各阶主子式皆大于零，故A为对称正定阵。由判别条件3， 故不能用条件1判断。 Gauss-Seidel迭代法与松弛法 均收敛。A不是弱对角占优阵， 插 值 法 主讲教师：刘春凤 8/eol/jpk/course/welcome.jsp?courseId=1220 线性方程组的迭代解法 主讲教师：龚佃选 第 六章 一阶定常迭代法的基本定理 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 迭代法的收敛性与稳定性 一阶定常迭代法的基本定理 常用结论 设 为 阶方阵的特征值， 的谱半径定义为： 的谱定义为： 事实上：对 的 及特征向量 由 的任意性： 当 对称时， 矩阵的谱半径 由 的任意性 迭代法的收敛性与稳定性 一阶定常迭代法的基本定理 设线性方程组 其中 为非奇异矩阵，记 为 精确解，且设有等价的方程组 于是 设有解 的一阶定常迭代法 迭代法的收敛性与稳定性 一阶定常迭代法的基本定理 　　有意义的问题是：迭代矩阵 满足什么条件时，由迭代法产生的 向量序列 收敛到 . 误差向量的递推公式 引进误差向量 由(3.3)式减(3.2)得到 研究迭代法(3.3)收敛性问题就是要研究迭代矩阵 满足什么条件时，有 迭代法的收敛性与稳定性 一阶定常迭代法的基本定理 定 义 设有矩阵序列 及 ，如果 个数列极限存在且有 ，则 称收敛于 记为 　　　　　　　　　　　　　其中||·||为矩阵的任意一种 算子范数. 都有 定理1 定理2 迭代法的收敛性与稳定性 一阶定常迭代法的基本定理 例 3 设有矩阵序列