数值分析迭代法..ppt

第二节 迭代法 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §2 迭代法 第六章 方程求根 * 它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。 6.2.1 迭代法的基本思想 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭代的等价方程 其中 为x的连续函数。 即如果数 使 f(x)=0, 任取一个初值 ,代入式 的右端, 得到 则也有 反之, 若 , 则也有 再将 代入式 的右端, 得到 上式称为求解非线性方程的简单迭代公式, 依此类推, 得到一个数列 其一般表示 称 为迭代函数 。 例1 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由 建立迭代关系 计算结果如下: k=0,1,2,3……. 精确到小数点后五位 k k 0 1.5 5 1.32476 1 1.35721 6 1.32473 2 1.33086 7 1.32472 3 1.32588 8 1.32472 4 1.32494 但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 显然结果越来越大， 是发散序列 （全局收敛定理） 6.2.2 收敛性分析 ①存在唯一性 做辅助函数 ，则有 所以，存在点 若 ，则有： 又， ② 则 所以，任意的初值都收敛 ③误差估计 注：L越小，收敛越快。 例2 证明函数 在区间[1，2]上满足迭代收敛条件。 证明： 若取迭代函数 不满足定理，故不能肯定 收敛到方程的根。 定理 设 是方程 的根，如果满足条件 ： （1）迭代函数 在 的邻域可导； （2）在 的某个邻域 ，对于任意 ，有 局部收敛性 则对于任意的初始值 ，由迭代公式 产生的数列 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 的S邻域具有局部收敛性。） 例3 设 ，要使迭代过程 局部收敛到 ,求 的取值范围。 解： 由在根 邻域具有局部收敛性时， 收敛条件 所以 实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个n满足 即可结束计算并取 当然，迭代函数 的构造方法是多种多样的。 x y y = x x* y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x y y = x x* y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? 简单迭代收敛情况的几何解释 定义 设迭代过程 收敛于 的根 ,记迭代误差 若存在常数p（p≥1）和c（c0），使 则称序列 是 p 阶收敛的,c称渐近误差常数。特别地,p=1时称为线性收敛,p=2时称为平方收敛。1 p 2时称为超线性收敛。 6.2.3 迭代法的收敛速度 数p的大小反映了迭代法收敛的速度的慢，p愈大，则收敛的速度愈快，故迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。 定理 设迭代过程 ,若 在所求根 的邻域连续且 则迭代过程在 邻域是p阶收敛的。 证: 由于 所以 有局部收敛性, 将 在 处泰勒展开 即在 邻域 , 根据已知条件得 由迭代公式 及 有 ? 例4 已知迭代公式 收敛于 证明该迭代公式平方收敛。 证: 迭代公式相应的迭代函数为 将 代入， 根据定理可知，迭代公式平方收敛。 为了使迭代过程收敛或提高收敛的速度, 可设法 ① 提高初值的精度以减少迭代的次数 ② 提高收敛的阶数 p * ? 2009, Henan Polytechnic University * §2 迭代法 第六章 方程求根