《定积分的概念》（改5）.ppt

解决问题的基本思想 * 经济数学基础（微积分） */29 The Concept of Definite Integral 在一切理论成就中，未必再有像17世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利！ ——恩格斯 * 微积分的创始人------莱布尼兹和牛顿 莱布尼兹（德国，1646-1716）从几何学的角度完成了微积分的创立工作。 牛顿（英国，1643-1727）从运动学的角度完成了微积分的创立工作。 1.1 面积问题 Area Problem ⑴如何确定湖泊的面积？ 湖泊面积怎么计算？ 平面规则图形的面积 矩形 三角形 圆 平行四边形 正六边形 梯形 ⑵不规则图形的面积的处理办法如下： 曲边梯形 曲边三角形 矩形 a b x y o ⑶形成问题： 如何求由连续曲线y f x ≥0 、x轴、x a、x b 所围成的曲边梯形的面积？ ⑷解决问题的困难所在： 曲边梯形的曲边---- y f x ，无法用已知公式计算面积. 思考： 跟曲边梯形形状 相似的图形（梯形、 矩形）哪个图形的 面积计算最简单？ ？ 能否直接求出面积的精确值？ a b x y o （四个小矩形） a b x y o （九个小矩形） 思考 用多少个矩形面积来代替 曲边梯形面积呢？ 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． a b x y o 化整为零 用已知 解决未知 用矩形面积 近似代替曲边梯形面积 将整个曲边梯形分成若干个小曲边梯形 ⑸解决问题的具体办法 a b x y o ①分割: 将[a,b]任意分成n个小区间， ?xi很小时, ②近似: ?Ai xi 小长条面积 ?Ai ≈f xi ?xi ; 取xi∈[xi-1,xi] A分成n个小长条的面积?Ai , ③求和： ④取极限: 得到曲边梯形的面积 , , max 2 1 D D D l n x x x L 0 时, ? 令 曲边梯形面积的近似值 宽?xi xi- xi-1 ,i 1,2,…,n ； 微积分的创始人------莱布尼兹和牛顿 莱布尼兹（德国，1646-1716）从几何学的角度完成了微积分的创立工作。 牛顿（英国，1643-1727）从运动学的角度完成了微积分的创立工作。 设有一质点作变速直线运动, 在时刻t的速度v v t 是一已知的连续函数, 求质点从时刻T1到时刻T2所通过的路程. 1.2 路程问题 Distance Problem 思路：将整段路程进行分割，各小段路程可以 近似看成匀速运动，再求和取极限即可。 t T 2 T t n O 1 1 t t n - 1 t i - t i ①分割: ③求和： 0 1 , . ②近似: 取点 , ④取极限：令 得到路程的精确值 →0, 1.3 两个引例的比较 Area Distance 结构式 分割，近似， 求和，取极限。 特殊和式 的极限 几何学 物理学 空间 时间 方法 2.1 定积分的定义 定义 设y f x 在区间[a,b]上有界, ①把[a,b]任分成n个小区间[xi-1, xi],长度?xi xi- xi-1; ②各小区间上任取xi xi-1≤xi≤xi ,作积f xi ?xi ; ③把所有积相加 ; ④当l max ?x1,?x2,…,?xn →0时,若 的极限 存在，则称极限值为f x 从a到b的定积分, 记作 积分上限 积分下限 积分变量 被积表达式 被积函数 说明： 引例1中曲边梯形的面积 引例2中变速运动的路程 计算面积问题 Area Problem 面积测量仪 曲边梯形面积的相反数 a b x y o 曲边梯形的面积 A a b x y o -A A 定积分的几何意义——面积的代数和 例1. 利用定积分的几何意义求: 提示： x a y x 1 y -1 1 该积分值等于直线y x、x -1、 x 1及x 轴所围面积的代数和. 2 该积分值等于圆面x2+y2 a2在第一象限部分的面积. 思考题： 计算 提示： １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分 割 化整为零 近似求和 积零为整 取极 限 精确值——定积分 取极限 求近似以直（不变）代曲（变）