9.1定积分概念.ppt

一、问题提出 二、定积分的定义 四、小结 * §3 可积条件　　　 §4 定积分的性质 §1定积分概念 §5 微积分学基本定理 §2 牛顿—莱布尼茨公式 小结与习题 第九章 定 积 分 §6 定积分的计算 一、问题的提出 二、定积分的定义 §9.1 定积分概念 三、定积分的几何意义 背景来源——面积的计算 ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 ？一般图形的面积是什么 　　我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转） “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分 1. 曲边梯形的面积 设 y = f (x)为区间[a, b] 上连续函数，且f (x)≥ 0，由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b y = 0 所围成的图形称为曲边梯形。 下面讨论曲边梯形的面积 对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如 矩形的面积 = 底×高 显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。 直与曲 不变与变 砖是直边的长方体 烟囱的截面是弯曲的圆 “直的砖”砌成了“弯的圆” 局部以直代曲 a b x y o a b x y o 虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。 （四个小矩形） （九个小矩形） 从中可以得到一个什么样的启示？ 小曲边梯形的底： 小曲边梯形的高： 小曲边梯形的面积： ⑴ 分割 用任意的一组分点： 把 [ a, b ] 分成 n 个小区间 [ xi-1, xi ] i=1, 2, …, n 相应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi i=1, 2, …, n （化整为零） ⑵ 近似代替 在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ， 其中 （曲转化为直） 于是小曲边梯形的面积 ⑶ 求和 （积零为整） 大曲边梯形的面积 ⑷ 取极限 令 若极限 存在， 则定义此极限值为曲边梯形的面积 （直转化为曲） 让每个小区间的长度趋于零 求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。 然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。 F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， F(x) A B 变力做功的问题 设 质点 m 受力 的作用，在变力F的作用下，沿直线由 A 点运动到 B 点，求变力作的功 ⑴ 分割 用任意的一组分点： 把 [ a, b ] 分成 n 个小区间 [ ti-1, ti ] i=1, 2, …, n ⑵ 近似代替 在 [ ti-1, ti ] 上任取一点ξi ，于是在该小区间上的力 作的功 ⑶ 求和 总功 ⑷ 取极限 令 若极限 存在， 则定义此极限值为力所做的功 从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义 定义1: 在 [a, b] 内任取一组分点 将 [a, b] 分成 n个子区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n 这些分点构成[a, b] 的一个分割，记为 T = { x0, x1, …, xn } = { Δ1, Δ2, … , Δn } 记 Δxi = xi – xi-1 ， 并称 为分割 T 的模 称此和式为 f 在 [a, b] 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和 定义2: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 对[a, b]的一个割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任取点?i ? Δi , i=1, 2, … , n ，作和 定义3: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 若任给的ε 0 ，总存在 δ 0 ，使得 对[a, b]的任何分割T = { Δ1,