2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算同步过关提升特训新人教B版必修.doc

2.2.2　向量的正交分解与向量的直角坐标运算 课时过关·能力提升 1.已知=(2,3),A(-1,2),则点B的坐标是(　　) A.(1,1) B.(5,5) C.(1,5) D.(1,3) 解析:设B(x,y),则有=(x+1,y-2), 因此x+1=2,y-2=3,得x=1,y=5.即B(1,5). 答案:C 2.已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-8,-1) B. C. D.(8,-1) 解析:由已知得=(-8,1),于是. 设P(x,y),则有x-3=-4,y+2=, 于是x=-1,y=-,故P. 答案:B 3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于 (　　) A.-a+b B.a-b C.a-b D.-a+b 解析:设c=xa+yb,于是有 即c=a-b. 答案:B 4.已知在?ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则的坐标为(　　) A. B. C. D. 解析:如图所示,=(-2,3)+(3,7)=(1,10), . ∴. 答案:C 5.已知点A(3,-4),B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为(　　) A. B.(-5,8) C.或(-4,7) D.或(-5,8) 解析:当点P在线段AB上时,由||=2||可得=2, 设P(x,y), 则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), 因此 于是P. 当点P在线段AB的延长线上时,由||=2||可得. 设P(x,y),则(-4,6)=(x+1,y-2), 解得x=-5,y=8,于是P(-5,8). 答案:D 6.设点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),(3,1),(4,3),(0,2),则四边形ABCD的形状为　　　　.? 解析:如图所示,=(0,2)-(-1,0)=(1,2), =(4,3)-(3,1)=(1,2), . 又||=,||=, ||≠||, ∴四边形ABCD为平行四边形. 答案:平行四边形 7.已知正方形ABCD的边长为1.若点A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量4-3的坐标为　　　　　.? 解析:如图,各顶点的坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0),=(0,1),=(1,1). ∴4-3=(1,-2). 答案:(1,-2) 8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λR),则当λ=　　　　　时,点P在第一、三象限的角平分线上;当λ　　　　　时,点P在第三象限内.? 解析:设点P的坐标为(x,y), 则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), +λ=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)] =(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). +λ,∴ ∴ 若点P在第一、三象限的角平分线上, 则5+5λ=4+7λ,λ=. 若点P在第三象限内,则λ-1. ∴当λ=时,点P在第一、三象限的角平分线上;当λ-1时,点P在第三象限内. 答案:　-1 9.(1)已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a,b的坐标. (2)已知x轴的正方向与向量a的夹角为60°,且|a|=2,求向量a的坐标. 解:(1) ×2+②,得5a=(-8+3,6+4)=(-5,10), 则a=(-1,2),故b=(-4,3)-2(-1,2)=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1). (2)设a=(x,y). x=|a|cos 60°=2×=1, y=±|a|sin 60°=±2×=±, ∴a=(1,±). 10.已知平面上四点A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),判断四边形ABCD是否为平行四边形?若是,请给予证明;若不是,请说明理由. 解:四边形ABCD为平行四边形. 证明如下: A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1), ∴=(0,4)-(-2,2)=(2,2),=(1,3)-(-1,1)=(2,2),∴, ∴四边形ABCD为平行四边形. ★11. 已知O是ABC内一点,AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c. 解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的坐标系.由||=2,得=(2,0). 设点B的坐标为(x1,y1),点C的坐标为(x2,y2). 由AOB=150°,根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1=1·cos 150°=-,y1=, 则B, 即. 同理,点C的坐标为, 即. 设=m+n, 则=m(2,0)+n, 即 故=-3-3, 即c=-3a-3b. ★12