2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修.ppt

-*- 2.2.2　向量的正交分解与向量的直角坐标运算 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 2.会用坐标进行平面向量的加、减与数乘向量运算. 3.能借助向量坐标,用已知向量表示其他向量. 1 2 1.向量的坐标 (1)若两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直. (2)若基底的两个基向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量,叫做正交分解. (3)在平面直角坐标系xOy内,分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1,e2,则对任一向量a,存在唯一的有序实数对(a1,a2),使得a=a1e1+a2e2,(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标,即a=(a1,a2).其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量,a2叫做a在y轴上的坐标分量. (4)向量的坐标:设点A的坐标为(x,y),则 =xe1+ye2=(x,y).(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量(x,y). 1 2 【做一做1】 已知a=(2 016,-2 017),且a=xe1+ye2,{e1,e2}为正交基底,且e1,e2为单位向量,则x=　　　　　,y=　　　　　.? 答案:2 016　-2 017 1 2 2.向量的直角坐标运算 (1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a±b=(a1±b1,a2±b2),即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差; 若λ∈R,则λa=(λa1,λa2),即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积. (2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2,y2)-(x1,y1)= (x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标. 1 2 归纳总结 1.两个向量的坐标相同时,这两个向量相等,但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同,如A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6),则 但A,B,C,D各点的坐标却不相同. 2.在平面直角坐标系中,给出了向量的坐标,将向量的运算代数化,同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法. 1 2 【做一做2-1】 已知a=(1,-1),b=(3,0),则3a-2b等于(　　) A.(5,3) B.(4,-1)C.(-2,-1) D.(-3,-3) 答案:D 【做一做2-2】 已知向量 =(9,-7)(O为原点),则点N的坐标为(　　) A.(9,-7) B.(9,7)C.(-9,7) D.(-9,-7) 答案:A 【做一做2-3】 已知a=(2-x,y),b=(2y-1,3),且a=b,求x,y的值. 解:由a=b,得(2-x,y)=(2y-1,3), 从多个角度来理解向量的坐标 剖析若在平面直角坐标系下,我们分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一个向量a,则 (1)i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). (4)两个向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等. (5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来,相等的向量的坐标是相同的,但起点和终点的坐标却不一定相同. 名师点拨向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同. 题型一 题型二 题型三 【例1】 在平面直角坐标系中,质点从坐标平面内原点处开始做直线运动,分别求出下列位移向量的坐标(如图). (1)向量a表示质点沿东北方向移动了2个单位长度; (2)向量b表示质点沿西偏北60°方向移动了4个单位长度; (3)向量c表示质点沿东偏南30°方向移动了6个单位长度. 分析解答本题可利用向量正交分解的定义写出向量的坐标. 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思向量的坐标表示是向量的另一种表示方法.解答本题的关键是选取x轴、y轴正方向上的单位向量e1,e2作为正交基底,其中向量的始点在原点,则终点坐标即为向量的坐标. 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 题型一 题型二 题型三 A.(2,1) B.(-2,1) C.(1,2) D.(-1,2) 答案:D 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思本题是平面向量基