2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式同步过关提升特训新人教B版必修.doc

2.3.3　向量数量积的坐标运算与度量公式 课时过关·能力提升 1.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且ca,b·c=1,则c的坐标为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(-3,2) 解析:设c=(x,y),则有 解得故c=(-3,-2). 答案:C 2.已知m=(a,b),向量n与m垂直,且|m|=|n|,则n的坐标为(　　) A.(b,-a) B.(-a,b) C.(-a,b)或(a,-b) D.(b,-a)或(-b,a) 答案:D 3.已知点A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形ABCD是(　　) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析:由已知得=(3,-2),=(4,6),=(-3,2), 所以,且=0, 即,所以四边形ABCD是矩形. 答案:B 4.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(3,0),则|2a-b|的最大值为(　　) A.4 B.2 C.25 D.5 解析:|2a-b|=, 因此当cos2a,b=-1时,|2a-b|取得最大值5. 答案:D 5.在RtABC中,C=,AC=3,取点D使=2,则等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:以C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设CB=a, C(0,0),A(3,0),B(0,a). 设D点坐标为(m,n), =2, 即(m,n-a)=2(3-m,-n),得m=2,n=. ·(3,0)=6,故选D. 答案:D 6.已知O为坐标原点,=(3,1),=(-1,2),,则满足的向量的坐标为　　　　　.? 答案:(11,6) 7.设O为原点,已知点A(a,0),B(0,a)(a0),点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),则的最大值为　　　　　.? 解析:·()=·(+t)=+t=a2+t(a,0)·(-a,a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2. ∵0≤t≤1,∴0≤1-t≤1, ∴的最大值为a2. 答案:a2 8.以原点及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使B=90°,求点B和向量的坐标. 解:如图,设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-5,y-2). , ∴x(x-5)+y(y-2)=0, 即x2+y2-5x-2y=0. ∵||=||, ∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2, 即10x+4y=29. 解方程组 得 点B的坐标为; 当点B的坐标为时,; 当点B的坐标为时,. 综上,点B的坐标为, 或点B的坐标为. ★9.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=|a-kb|(k0). (1)用k表示数量积a·b; (2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ. 解:(1)由|ka+b|=|a-kb|, 得(ka+b)2=3(a-kb)2, k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2. ∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|=1,|b|=1, ∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0, ∴a·b=. (2)由(1),得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.此时a,b的夹角为θ,则cos θ=,θ=60°. ★10. 如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),. (1)求x与y的关系式; (2)若,求x,y的值及四边形ABCD的面积. 解:(1)∵=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2), ∴=-=(-x-4,2-y). ∵=(x,y), ∴x(2-y)-(-x-4)y=0, ∴x与y的关系式为x+2y=0. (2)因为=(6,1)+(x,y)=(x+6,y+1),=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3). ∵,∴=0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 又由(1)的结论x+2y=0, 得(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0. 化简,得y2-2y-3=0. ∴y=3或y=-1. 当y=3时,x=-6,于是=(-6,3),=(0,4),=(-8,0). ||=4,||=8. ∴S四边形ABCD=|||=16. 当y=-1时,x=2, 于是有=(2,-1),=(8,0),=(0,-4), ||=8,||=4. ∴S四边形ABCD=|||=16. 综上,四边形ABCD的面积为16. 1