信号处理PPT-拉普拉斯变换-1.ppt

信号处理原理第3章拉普拉斯变换**主要内容拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯逆变换周期信号和抽样信号的拉普拉斯变换频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化，物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tu(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。一、拉普拉斯变换1.从傅立叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号f(t)，适当选取σ的值，使乘积信号f(t)e-σt当t→∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-σt的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为令，有FB(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为FB(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。2.收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛，使信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为FB(s)的收敛域。下面举例说明FB(s)收敛域的问题。例1因果信号f1(t)=eatu(t)，求其拉普拉斯变换。可见，对于因果信号，仅当Re[s]=σα时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。解：例2反因果信号f2(t)=eβtu(-t)，求其拉普拉斯变换。可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=σβ时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。解：例3双边信号求其拉普拉斯变换。其双边拉普拉斯变换FB(s)=FB1(s)+FB2(s)仅当βα时，其收敛域为αRe[s]β的一个带状区域，如图所示。解：例4求下列信号的双边拉氏变换。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。解：结论：1、对于双边拉普拉斯变换而言，FB(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：和收敛域2、不同的信号可以有相同的FB(S)，但他们的收敛域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的FB(S)必然不同！注意：以上3个信号，具有相同的F(S),但收敛域不同：例5通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉普拉斯变换，简称拉普拉斯变换。其收敛域一定是Re[s]α，可以省略。本课程主要讨论单边拉普拉斯变换。3.单边拉普拉斯变换象函数原函数常记为或