信号与系统--拉普拉斯反变换.pptx

4.3拉普拉斯反变换;

这个公式的被积函数是一个复变函数，其积分是沿着收敛区内的直线σ-j∞→σ+j∞进行的。这个积分可以用复变函数积分计算。但一般情况下计算函数比计算积分更容易，因此可以利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求反变换。但当像函数为有理函数时，更简便的是代数方法，这种方法就是部分分式展开法，简称为“部分分式法”。;

F(s)为s的有理函数时，一般形式可表示为

式中，ai、bi为实常数，n、m为正整数。

部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，先将F(s)分解为若干如表4-1所示的简单函数之和，再分别对这些简单像函数求原函数。;

将分母多项式表示为便于分解的形式

式中，p1，p2，…，pn是A(s)=0方程式的根，也称F(s)的极点。

同样，分子多项式也可以表示为

式中，z1，z2，…，zm是B(s)=0方程式的根，也称F(s)的零点。;

4.3.1mn，F(s)均为单极点时的部分分式展开法

式中，p1，p2，…，pn为单极点，F(s)可分解为

则;;

例4.3-1已知像函数

解;

4.3.2m≥n，F(s)均为单极点时的部分分式展开法

当m≥n时，利用长除法将分子多项式的高次项提出，对余下的真分式(mn)部分处理同上。对提取的sr部分(0≤r≤mm)，利用微分性质：;

例4.3-2已知像函数

求原函数f(t)。

解;

例4.3-3已知像函数求原函数f(t)。

解一般共轭复根可配成二次项的平方作为整体考虑，而不是分为两个单根。;

4.3.3mn，F(s)有重极点时的部分分式展开法

设

其中，s=p1-是F(s)的k阶极点，由F(s)可展开为

;;

对式(4.3-16)两边求导

令式(4.3-17)的s=p1，右边除了第一项外，其余各项均为0，所以，

同理对式(4.3-17)再求导，可得;

再令式(4.3-19)的s=p1，并解得

类推重极点展开式一般项系数;

对剩下的中若均为单极点，用前面单极点的处理方法展开，如还有重极点可用上面???方法处理。重极点反变换式中一般项为

所以最后;