2017_2018学年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.2含参数的一元二次不等式及恒成立问题课件北师大版必修.ppt

-*- 第2课时　含参数的一元二次不等式及恒成立问题 1.掌握一元二次不等式的解法. 2.能够求解含参数的一元二次不等式和不等式恒成立问题. 解一元二次不等式的步骤 (1)对不等式变形,使一端为0,且二次项系数大于0; (2)计算相应的判别式Δ=b2-4ac; (3)当Δ0时,求出相应的一元二次方程的两根; (4)根据一元二次不等式解的结构,写出其解集. 【做一做1】 若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(　　). A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根, ∴Δ=m2-40. 解得m-2或m2. 答案:C 【做一做2】 不等式-4x2≥1-4x的解集为　　　　　.? 解析:∵原不等式可化为4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 解含参数的一元二次不等式 【例1】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10. 分析:参数a是否为零决定了方程的次数,参数a也导致方程的根的大小不确定,要进行分类讨论. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解含参数的一元二次不等式要注意: (1)当二次项系数不确定时,要分大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论. (2)当判别式大于零时,只需讨论两根的大小. (3)当判别式不确定时,要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 解关于x的不等式:x2-(a+a2)x+a30(a∈R). 解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)0. 当a0时,aa2,解集为{x|xa或xa2}; 当a=0时,a2=a,解集为{x|x≠0}; 当0a1时,a2a,解集为{x|xa2或xa}; 当a=1时,a2=a,解集为{x|x≠1}; 当a1时,aa2,解集为{x|xa或xa2}. 综上所述,当a0或a1时,解集为{x|xa或xa2}; 当0a1时,解集为{x|xa2或xa}; 当a=0时,解集为{x|x≠0}; 当a=1时,解集为{x|x≠1}. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 不等式恒成立问题 【例2】 当a为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解集是全体实数? 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 已知不等式mx2-2x+m-20. (1)若对所有实数x不等式恒成立,求m的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围. 分析:(1)讨论m是否为零,可结合二次函数的图像求解;(2)看做关于m的一次函数,利用其单调性求解. 解:(1)对所有实数x,都有不等式mx2-2x+m-20恒成立, 即函数f(x)=mx2-2x+m-2的图像全部在x轴下方. 当m=0时,-2x-20,显然对任意x不能恒成立; 当m≠0时,由二次函数的图像可知有 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)设g(m)=(x2+1)m-2x-2,它是一个以m为自变量的一次函数,由x2+10,知g(m)在[-2,2]上是增加的,故只需g(2)0即可,即2x2+2-2x-20,解得0x1. 即x的取值范围是(0,1). 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 与二次不等式有关的新定义问题 【例3】 在R上定义运算??:A??B=A(1-B),若不等式(x-a)??(x+a)1对任意的实数x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 分析:先根据条件中的定义将问题转化,再根据“恒成立”求a的取值范围. 反思求解新定义问题时,需先弄清新定义的含义,然后根据定义求解问题. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)0的实数x的取值范围为(　　). A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 解析:根据给出的定义,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)0,则(x+2)(x-1)0,故不等式的解集是(-2,1). 答案:B 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点:对参数讨论的结果求并集出错致误 【例4】 解关于x的不等式(x-2)(ax-2)0. 题型四 题型一 题型二 题型三 错因分析:此题讨论a的取值范围,求解x的取值范围,由于不是同一个变量,故不能取并集,而应该分5种情况下结论. 题型四 题型一 题型二 题型三 1 2 3 4 5 1如果A={x|ax2-ax+10}=?,那么实数a的取值范围为(　　).