讲函数的极限(课时连续性).doc

第 59 讲 函数的极限-函数的连续性 （第2课时） 5．函数的连续性的描述性定义 ⑴ 在一点连续 ① 设函数在点处及其附近有定义，且，那么就称函数在点处连续。 这一定义包含三个意思：在点处有定义；在点处有极限；在点处的极限值等于该点的函数值。这三者缺一不可。 ② 左连续和右连续 如果函数在点处及其左侧有定义，且，那么就称函数在点处左连续。 如果函数在点处及其右侧有定义，且，那么就称函数在点处右连续。 ③ 函数在点处连续的充要条件是在点处既左连续也右连续，即 例．函数在点处不连续是指下面三种情况之一： ①在点处没有定义。例如在处。 ②在点处虽然有定义，但没有极限。例如 ， ， ，二者不相等，故不存在。 ③在点处极限不等于。例如 ， ，但 ，∴ 。 ⑵ 在区间上连续 如果函数在开区间（，）内的每一点都连续，则称函数在开区间（，）内连续。 如果函数在开区间（，）内连续，且在点处右连续，在点处左连续，则称函数在闭区间[，]上连续。 注意：上面粗体字“内”和“上”的使用是有区别的，只有在闭区间上才能使用后者。对于开区间或是半开半闭区间，只能使用前者。 例．讨论下列函数在指出点或区间的连续性： ⑴ ，点；⑵ ，区间 [0，2]； ⑶ ，点 。 分析：对于分段函数在分界点处的极限，一定要注意它的左右极限是否存在，是否相等；对于分式函数，分子分母约分后得到的新函数与原来的函数是否仍为同一函数。 解：⑴ 当 ，， ， ∴ ，而 ， ∴ 在处的极限不存在，∴ 在处不连续。 ⑵ ∵ 中，如果，则分母为零，∴ 在处无定义， ∴ 在区间 [0，2] 处不连续。 ⑶ ∵ ， ， 又 ∴ ，∴ 在处连续。 点评：对于函数在给定点处的连续性，关键是判断函数当时的极限是否等于；对于函数在给定区间上的连续性，则要看它在给定区间上任一点是否都有意义，是否都连续，特别要注意端点处的情况。 6．连续函数的性质 ⑴ 如果在闭区间[，]上连续，那么[，]上最大值和最小值。 如果函数在某一点处连续，那么它们的和差积（包括乘以常数）商在此点也连续。 ⑶ 五种基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）在它的定义域都是连续函数。 至少有一个正根，且它不大于。 证明：设 ， 则 ，， 又 在内是连续函数，所以存在一个，使 的根也就是方程的根， ∴方程 至少有一个正根，且它不大于。 例．已知函数 ，试求： ⑴ 的定义域，并画出的图像； ⑵ 求 ， ，； ⑶ 在哪些点不连续？ 解：⑴ 当 ，即 时，， 当 ， 不存在， 当 ，即 或 时，， ∴ ， ∴ 的定义域为 ，其图像如右。 ⑵ ， ， ∵ ≠ ，∴ 不存在， ⑶ 在点 及 处不连续， ∵ 在点 处无意义，而在点 处， ， ，不存在。 1 2 3 4 5 6 7 8 函数的连续性的描述性定义 在一点连续 √ 在区间上连续 √ 连续的充要条件 √ √ 连续函数 的性质 最大值和最小值 、连续，则其和差积商连续 五种基本初等函数及其和差积商连续 √ 1．函数 ，则在 （ ） . 点处不连续； . 点处不连续； . 点和处不连续； . 处处连续。 解：∵ ， ，∴ 不存在，故应选。 2．讨论函数 在区间上的连续性。 解：由于在点处无定义，∴ 在点处不连续，从而在区间上不连续，而仅在区间内连续。 3．已知条件甲为“在处有定义且极限存在”，条件乙为“在处连续”，则甲是乙的 （ ） . 充分不必要条件；. 必要不充分条件；. 充要条件；. 既不充分又不必要条件。 解：∵ 在处连续的充要条件是“在处有定义，极限存在，极限等于该点的函数值”，故应选。 4．已知函数 ，若在点处连续，则 。 解：∵ ， 又根据函数连续的充要条件有 ∴ 由函数表达式可知 ，∴ 。 5．讨论函数 在区间上的连续性。 解：∵ 是初等函数，其定义域为，根据连续函数的性质可知，函数 在区间上连续。 考点热点 一定掌握！ -1 1 o y x 能力测试