函数极限与连续性 - 2.2 函数的极限(上).ppt

第二章 函数与极限 2.2函数的极限（上） 一、函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 二、函数极限存在的性质 本节内容 : 三、函数极限运算法则 一、函数的极限的定义 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 极限存在 函数局部有界 (P47定理3) 这表明: 几何解释: 例1. 证明 证: 欲使 取 则当 时, 必有 因此 只要 例2. 证明 证: 故 取 当 时, 必有 因此 例3. 证明: 当 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 2. 左极限与右极限：单侧极限 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 1 . 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 . A 为函数 3. 时函数的极限 例4. 证明 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 只要 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 另外两种情况 :单侧极限 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 二、函数极限的相关性质 定理 2 . （唯一性）若极限 存在， 则它的极限是唯一的。 定理3. （局部有界性）若 存在，则 推论2. 若 推论1. （保号性）若 定理4. （保序性）若 思考与练习 1. 若极限 存在, 2. 设函数 且 存在, 则 是否一定有 ？ 三、函数极限运算法则 定理5: （四则运算法则） 说明: 定理 5 可推广到有限个函数的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例5. 设 n 次多项式 试证 证: 例6. 求 解: 定理6: （复合运算法则） 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 因此定理成立. 说明: 若定理中 则类似可得