弹性力学教学课件第6章平面问题的极坐标解答.pptx

东莞理工学院zwwps@126.com制作:马宏伟，张伟伟弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12

第六章平面问题的极坐标解答Chapter6Polarsolutionstoplanarproblems极坐标中的弹性力学方程0102极坐标中的应力函数与相容方程03孔口应力集中问题楔形体弹性力学解答及推广04

极坐标中的弹性力学方程01Elasticityequationsinpolarcoordinates

平衡条件应用假定:（1）连续性，（2）小变形。?

平衡条件??其中可取：???所以：

平衡条件?略去三阶微量，保留到二阶微量，得：??

平衡条件当考虑到二阶微量时，得：?含义：通过形心C的力矩为0。进一步验证了切应力互等定理。极坐标下的平衡方程：??

?01几何方程??所以切应变为?

几何方程?02?所以切应变为??

几何方程?03??（2）极坐标中的物理方程（3）边界条件??平面应力问题：对于平面应变问题，只须作如下变换，（1）几何方程为形式比较简单

极坐标中的应力函数与相容方程02Stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates

以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：（a）物理量的转换；（b）从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。或：???????（1）坐标变量的变换：（2）函数的变换：（3）导数的变换：极坐标下的应力分量与协调方程

极坐标下的应力分量与协调方程??（3）导数的变换：因此，把x轴和y轴分别转到和的方向，有xyO时

二阶导数的变换公式，可以从上式导出。例如：展开即得：??????

若微元体处于6.?展开即得：应力分量????

若微元体处于展开即得：6.拉普拉斯算子的变换：(用于验证双调和性)应力函数????

极坐标中的相容方程的展开式6.拉普拉斯算子的变换：(用于验证双调和性)??

孔口应力集中问题03Stressconcentrationattheorifice

问题的提出在结构中开孔以符合某种工程需求是工程上常见的现象，例如机械结构中连接件、以及隧洞开挖、水利工程中的泄洪口等，而确定孔边应力分布，进而对开孔构件进行强度校核，包括刚度校核、稳定性判定是确保各类开孔工程安全的基础。此类问题通常简化为圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变问题）。如图所示，设有圆环受内外均布压力，内半径为a，外半径为b。试求应力分量、位移分量。分析：由于几何形状、载荷均轴对称，故属于轴对称应力问题。

含义：轴对称即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。?问题：试求轴对称平面问题的应力分量、应变分量和位移分量。轴对称应力问题???????相容方程简化为：

①求应力函数相容方程：其中，因此，相容方程写为：?分部积分积分

③应变通解②应力通解???（c）?（d）

（a）（b）④求对应的位移将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分??代入得(a)，(b)两式的表达式为：???????

④求对应的位移?分开变量，两边均应等于同一常量F：?????

④求对应的位移由两个常微分方程，??????其中，A、B、C、H、I、K都是任意常数，第2式第一项，为满足位移单值条件，有B=0。

①应力分量简化为，②考虑内、外边界条件，有内壁：外壁：③求解边界条件，得④带入参数，得拉梅-克拉贝隆解圆环/圆通受内压、外压时的应力解

圆环/圆通受内压、外压时的应力解上述解答的应用：(1)只有内压力，此时(2)只有内压力且，成为具有圆孔的无限大薄板(弹性体)。(3)只有外压力单值条件的说明：(1)多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件（即位移连续性条件）。(2)在连续体中，应力、形变和位移都应为单值。所以,按应力求解时,对于多连体需要校核位移的单值条件。

说明（1）在轴对称应力条件下，应力函数、应力和位移的通解，适用于任何轴对称应力问题。（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称的，但位移不是轴对称的。（3）实现轴对称应力的条件是物体形状、体力和面力应为轴对称。（4）轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。（5）轴对称应力及位移的通解可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。?

问题的提出：带有圆孔的无限大板（Ba），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力q作用。求：孔边附近的应力。b第一步：改造边界条件直边宜用直角坐标系，圆孔宜用