弹性力学第四章平面问题极坐标解答.ppt

当F垂直于边界时， ，应力解答为 当 应力解答为 相应的位移按下列步骤求出： （2）代入几何方程， 位移 相应的直角坐标系中的应力 ， 如书中式(4-24)所示。 （1）由物理方程求形变 对第一式积分，求出 ，含 ； 对第二式积分，求出 ，含 ； 由对称条件， 代入第三式，分开变量，求出 和 ，得 （3）求刚体位移H , I , K。 x 向无约束条件, I 不能确定。 因刚体位移 不能确定，用相对沉陷表示： 此解答用于基础梁 问题。地基一般为平面 应变问题，故应取 （4）半平面体表面的沉陷,M点 为 为基点 ,s 。 §4－10 半平面体在边界 上受分布力 当半平面体表面有分布荷载 作用 时，其应力和位移解答可从集中力的解答得出。 F（原集中力）代之为微分集中力 （ 作用点为 ）。 x（原表示F作用点到M 的铅直距离）仍为x; y（原表示F作用点到M 的水平距离） 应代之为 应力 （式（4-24））的推广： 然后对 积分，从 。 （原M点到F作用点的水平距离） 代之为 s（原B点到F作用点的水平距离） 代之为 然后对 积分，从 相对沉陷解答 的推广： F （原集中力） 代之为 半平面体在边界上受有均布单位力作用 书中用上述方法，导出了基础梁计算中的公式。如点K在均布力之外，则沉陷为 若基点B取得很远 ，有 其中： * *同方向的应力引起同方向的线应变相同， 垂直方向的应力引起的线应变也相同。 * “（书中式（4 —16））。”是否写出？ 引用轴对称问题的解答，并考虑边界  上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考虑所谓有限值条件，即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时， 和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件， 当 时，必须有A=B=0。 有限值条件 在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核： (1)按应力求解时，多连体中的位移单值条件。 有限值条件 在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根据其他条件进行求解。 (2)无应力集中现象时， 和 ，或 处的应力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。 有限值条件 工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。 本节研究‘小孔口问题’，应符合 （1）孔口尺寸＜＜弹性体尺寸， 孔口引起的应力扰动局限于小范围内。 §4－8 圆孔的孔口应力集中 小孔口问题 （2）孔边距边界较远（＞1.5倍孔口尺寸） 孔口与边界不相互干扰。 　 当弹性体开孔时，在小孔口附近，将 发生应力集中现象。 小孔口问题 1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q， 图(a)。 双向受拉 内边界条件为， 将外边界改造成为圆边界，作 则有 利用圆环的轴对称解答，取 且R＞＞r，得应力解答： 双向受拉 2. 带小圆孔的矩形板， x, y向分别受拉压力 ，图(b)。 所以应力集中系数为2。 内边界条件为 最大应力发生在孔边， 作 圆，求出外边界条件为 双向受拉压 应用半逆解法求解（非轴对称问题）: 由边界条件， 假设 代入相容方程， 由 ~ 关系，假设 ，所以设 双向受拉压 除去 ，为典型欧拉方程，通过与前面§4－5相同的处理方式，可以得解 然后代回式（d),即可求出应力。 双向受拉压 校核边界条件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D， 得应力解答： 在孔边 ， ，最大、最小应力为