弹性力学有限元第四章平面问题极坐标解答.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-9 半平面体在边界上受分布力 取微小力 dF=qdx 微小力在点M引起的应力可由前面已经得到的解导出： 求上三式的积分，x =－b到x =a ： 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-9 半平面体在边界上受分布力 求上三式的积分，x =－b到x =a ： (仅写出sx: 教材式4-26) 若分布力为均布载荷，则可得： (仅写出sx: 教材式4-27) 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-9 半平面体在边界上受分布力 求半平面体在均布单位力作用下的沉陷公式 设单位力均匀分布在半平面体边界的长度c上面，为求得距分布力中点I为x的一点K的沉陷，取 应用半平面体的沉陷公式，得K点由于dF而引起的微分沉陷: 积分求得沉陷。 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-9 半平面体在边界上受分布力 如果K点在均布力之外，则沉陷有 若沉陷的基点很远(sr),积分时将s作为常量，则有 其中： 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-9 半平面体在边界上受分布力 如果K点是均布力的中点，则沉陷有 积分的结果仍然可以写成 其中： 当x/c积为整数时，可查表 4-1 平面应变问题注意弹性常数的替换 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-4 轴对称应力与相应的位移 说明 (1) 在轴对称应力条件下，本章的应力函数、应力和位移的通解，适用于任何轴对称应力问题。 (2) 在轴对称应力条件下，应变也是轴对称的，但位移不一定是轴对称的。(位移边界条件轴对称，则位移也轴对称) (3)实现轴对称应力的条件是，物体形状、体力和面力均为轴对称。 (4)轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程和平衡方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数A、B及C。 (5)轴对称应力及位移的通解可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。 (6)平面应变问题，将弹性常数进行相应替换即可。 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-4 轴对称应力与相应的位移 轴对称问题的一个简例 设图中半径为 r 的圆盘受法向均布压力作用q，试求其解答。 引用轴对称问题的解答: 显然，当r (r)?0，sr,sj的第一项和第二项趋于无穷大，这是不可能的。 有限值条件：即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值 A,B=0 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-5 圆环或圆筒受均布压力 轴对称问题： 边界条件可描述为： 引用轴对称问题的解答： 两个方程不能解决A,B,C三个常数，需要应用多连体的位移单值条件。 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-5 圆环或圆筒受均布压力 位移单值条件 考察环向位移uj的表达式 其中： 是多值的。 对于同一个r = r1值，在 j = j1和j = j1+2p时，环向位移相差8pBr1。这是不可能的，因为(r1, j1) (r1, j1+2p)是同一点。 因此，由位移单值条件，必须有 B = 0 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-5 圆环或圆筒受均布压力 将 B = 0 回代 将A,B回代入应力表达式，稍加整理，得到拉梅解： 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-5 圆环或圆筒受均布压力 考察内压力单独作用的情况,即qb=0 解答化简为： sr 总是压应力，sj 总是拉应力 当圆环的外半径趋于无穷大时(b?∞)，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，上述解答成为： 当 r 远大与 a 之处，应力很小，可以不计(证实了圣维南原理) 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-5 圆环或圆筒受均布压力 考察外压力单独作用的情况,即qa=0 解答化简为： 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-6 压力隧洞 圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为E,m,E’,m’。 本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题）。 圆筒的应力表达式： 注：上两式中根据单值条件，B = 0，B’ = 0已略去。 无限大弹性体的应力表达式： 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-6 压力隧洞 圆筒内部边界： 在远离圆筒处，根据圣维南原理，应力为0 圆筒和无限大弹性体的接触面上，应力相等： 上述条件不足以确定四个常数，需要考虑位移关系。 即 ： 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-6 压力隧洞 由圆筒和无限大弹性体的径向位移表达式(平面应变)：(B,B’=0) 对上两式略加整理 在接触面上，有 注意到 第四章 平面问题的极坐标解答 §4-6 压力隧洞 续前，代入经简化后，可得 其中： 结合之前的关系式，先解出A,A’,C