弹性力学-第八章-平面问题的极坐标解答.ppt

其中，代入应力分量式（8.22），有：（8.22a）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用（d）（e）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用求位移:将应力代入本构关系(8.9)得应变,将应变代入几何关系(8.5)得位移（f）积分（f）第一式（g）将（g）代入(f)第二式积分整理得（h）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用将（g）和(h)代入(f)第三式整理得（i）上式成立必须两边同时等于一个常数F（j）（k）对（j）求导得（l）方程（k）的通解（m）第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用利用(l),(m),从（i）得（n）将(l)和(n)代入(g)和(h)得位移（8.23）H,K和L为常数,由约束确定,对应项为刚体位移第八章平面问题的极坐标解答§8-6曲梁一端受径向集中力作用切口处相对径向位移为由(8.23)得代入式(d)的最后一式得（o）代入式(d)求出A,B,再由式(8.22)示出应力§8-7圆孔对应力分布的影响1.孔边应力集中概念由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。称为孔边的应力集中。应力集中系数：与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。（圆孔为最小，其它形状较大）2.孔边应力集中问题的求解（1）问题：带有圆孔的无限大板（Ba），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力q作用。求：孔边附近的应力。第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（2）问题的求解问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。A取一半径为r=b(ba），在其上取一点A的应力：OxybAArA由应力转换公式：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（a）新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界问题1（b）（c）baba问题2将外边界条件（a）分解为两部分：第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（a）问题1ba问题1的解：内边界外边界（b）该问题为轴对称问题，其解为当ba时，有（d）第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响问题2的解：ba问题2（非轴对称问题）内边界外边界（c）由边界条件（c），可假设：为r的某一函数乘以；为r的某一函数乘以。又由极坐标下的应力分量表达式：可假设应力函数为：将其代入相容方程：第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（e）与前面类似，令：有该方程的特征方程：特征根为：方程的解为：第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（f）ba问题2相应的应力分量：对上述应力分量应用边界条件（c）,有内边界外边界（c）(g)第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba问题2代入应力分量式（g）,有（h）第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响将问题1和问题2的解相加,得全解：（8.24）讨论：（1）沿孔边，r=a，环向正应力：3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y轴，θ=90°，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb——齐尔西（G.Kirsch）解第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（3）沿x轴，θ=0°，环向正应力：（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2第四章平面问题的极坐标解答§8.7圆孔对应力分布的影响（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用叠加后的应力：（5）任意形状薄板（或长柱）受面力作