平面问题的极坐标解答课件.ppt

4.4應力分量的座標變換(CoordinateTransformationofStressComponents)設已知直角坐標的應力分量?x,?yand?xy,求極座標下的應力分量σ?,σ?andτ??..為此,取一個三角單元A(Fig.4.3),邊abintheydirection,邊acinthexdirection和邊cbinthe?direction.並設bc=ds,則ab=dscos?,ac=dssin?.單元厚度為1.根據單元A在?direction的平衡條件?F?=0得用?xy代替?yx並簡化,得同樣,根據?F?=0得(a)取另據一個三角形單元B,由平衡條件?F?=0,得(b)(C)根據公式(a),(b)and(c),得(4.7)或另外寫成(4.7)同理,由極座標到直角坐標應力的變換式為:(4.8)(4.8)(4.8)or4.5軸對稱應力和相應的位移(AxisymmetrialStressesandCorrespondingDisplacements)所謂軸對稱(axisymmetry)是指物體的形狀和某些物理量是對某軸對稱.通過對稱軸的平面都是對稱平面.假如應力對稱於zaxis,那末任一環向線上的各點,應力分量的數值相同,而且方向對稱於zaxis.因而對稱於zaxis的應力,inpolarcoordinates中僅僅是?的函數,不依賴於?,且theshearstress???為零.因而,我們有Inthisspecialcase,thestressEqs.(4.5)reduceto (4.9)ThecompatibilityEq.(4.6)reducesto 對稱問題Laplasoperator可以寫為Substitutingintocompatibilityequationyields這是一個四階常微分equationofthefourthorder,它的通解為(4.10)whereA,B,C,Dare任意常數.將Eq.(4.10)代入Eq.(4.9),得軸對稱應力的通解(4.11)將Eqs.(4.11)代入physicalEqs.(4.3),得可見strains也是axisymmetry.(a)將上式代入Geometricalequations(4.2)andobtainByintegrationofthefirsttermofEqs.(a)withrespectto?,wehavewheref(?)是?的任意函數.將(b)代入(a)的第二式有(b)對?積分得wheref1(?)isanarbitraryfunctionof?.(c)為確定arbitraryfunctionsf(?)andf1(?),將Eqs.(b)and(c)代進Eqs.(a)的第三式中.ThisyieldsAfterrearrangement,itbecomes左邊僅僅是?的函數而右邊僅僅是?的函數．因此只可能都等於同一常數,sayF.Thisyields,(d)(e)differentialequation(d)的解whereHisanarbitraryconstant.Eq.(e)可以通過求導變換為(f)這方程的解為