高考数学第五章 数列第3课时 等 比 数 列【更多资料关注微博@高中学习资料库 】.doc

数列第3课时　等 比 数 列(对应学生用书(文)、(理)74～75页) 考情分析 考点新知 理解等比数列的概念掌握等比数列的通项公式与前n项和公式并能用有关知识解决相应的问题． 理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.了解等比数列与指数函数的关系. 1. (必修5习题2(1)改编)设S是等比数列{a}的前n项和若a＝1＝32则S＝________．答案：7解析：q＝＝32＝2＝＝7.(必修5习题1改编) {a为等比数列＝6＝162则{a的通项公式a＝________．答案：a＝2×3－1解析：由a＝6＝162得所以a＝2＝3.(必修5习题6改编)等比数列{a中＋2a＋a＝36则a＋a＝________答案：6解析：a＋2a＋a＝(a＋a)2＝36又a10，∴ a3，a50，∴ a3＋a＝6.(必修5习题7(2)改编)已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k则k＝________答案：3解析：由已知得(2k)＝(k＋9)(6－k)＝3.(必修5例2改编)等比数列{a中＝7＝63则a＝________答案：2－1解析：由已知得a＝1＝2；∴ a＝2－1 1. 等比数列的概念(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比都等于同一个常数那么这个数列叫做等比数列．(2) 符号语言：＝q(n∈N是等比数列的公比)．等比数列的通项公式设{a是首项为aq的等比数列则第n项a＝a－1推广：a＝a(n－m)．等比中项若a成等比数列则G为a和b的等比中项且＝． 4. 等比数列的前n项和公式(1) 当q＝1时Sn＝na(2) 当q≠1时＝＝等比数列的性质(1) an＝a－m(2) 等比数列{a中对任意的m、n、p、q∈N若m＋n＝p＋q则a＝a特殊的若m＋n＝2p则＝． (3) 等比数列{a中依次每m项的和仍成等比数列即S、S－S、S－S、…仍成等比数列其公比为q(q≠－1)．[备课札记] 题型1　等比数列的基本运算例1　等比数列{a的前n项和为S已知SS3，S2成等差数列．(1) 求{a的公比q；(2) 若a－a＝3求S解：(1) ∵ S成等差数列＝S＋S即2(a＋a＋a)＝a＋a＋a＝－a＝＝－(2) a3＝aa1，∴ a1－a1＝3＝4＝＝－ 已知数列{a的前n项和为S＝1且2a＋1＝S＋2(n∈N)．(1) 求a的值并求数列{a的通项公式；(2) 解不等式(n∈N)．解：(1) ∵ 2a＝S＋2＝a＋2＝3＝＝S＋2＝a＋a＋2＝＝＋1＝S＋2＝S－1＋2(n≥2)两式相减得2a＋1－2a＝S－S－1＋1－2a＝a则a＋1＝(n≥2)．∵ a＝＋1＝(n∈N)．∵ a＝1≠0＝即{a为等比数列＝－1(2) ＝3×－1数列是首项为3公比为的等比数列．数列的前5项为：3，，.{an}的前5项为：1，，，. ∴ n＝1时Sn成立；而n＝4时≤Sn；时＜1＞≤Sn. ∴ 不等式(n∈N)的解集为{1题型2　等比数列的判定与证明例2　已知数列{a的前n项和为S＝a－1(n∈N)．(1) 求a1；(2) 求证：数列{a是等比数列；(3) 求a和S(1) 解：由3S＝a－1得3a＝a－1＝－又3S2＝a－1即3a1＋3a＝a－1得a2＝. (2) 证明：当n≥2时＝S－S－1＝(an－1)－(a－1－1)得＝－所以{a是首项为－公比为－的等比数列．(3) 解：由(2)可得a＝＝＝－ 在数列{a中＝2＋1＝4a－3n＋1(1) 求证：数列{a－n}是等比数列；(2) 求数列{a的前n项和S；(3) 求证：不等式S＋1对任意n∈N皆成立．(1) 证明：由题设a＋1＝4a－3n＋1得a＋1－(n＋1)＝4(a－n)*.又a－1＝1所以数列{a－n}是首项为1公比为4的等比数列．(2) 解：由(1)可知a－n＝4－1于是数列{a的通项公式为a＝4－1＋n所以数列{a的前n项和S＝＋(3) 证明：对任意的n∈N＋1－4S＝＋－4＝－(3n＋n－4)≤0所以不等式S＋1对任意n∈N皆成立．题型3　等比数列的性质例3　已知等比数列{a中＝32＝＋1(1) 求数列{a的通项公式；(2) 设T＝＋＋…＋求T的最大值及相应的n值．解：(1) q＝＝＝＋1所以＝以a＝＝＝64为首项所以通项公式为a＝64·－1＝2－n(n∈N)．　(2) 设b＝则b＝－n＝7－n.所以{b是首项为6公差1的等差数列．＝6n＋(－1)＝－＋＝－(n－)＋因为n是自然数所以n＝6或n＝7时最大其最大值是T＝T＝21. 已知{a是等比数列＝2＝则a＋a＋…＋a＋1(n∈N)的取值范围是________．答案：解析：∵a＝a＝2×q＝＝＝44×＝2－n＋1＝＝＋a＋…＋a＋1＝＋＋…＋32×＝32×＝. 题型4　等比数列的应用例4　定义在(－∞)∪(