高考数学第七章 推理与证明第2课时 直接证明与间接证明【更多资料关注微博@高中学习资料库 】.doc

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第七章　推理与证明第2课时　直接证明与间接证明 考情分析 考点新知 了解分析法、综合法、反证法会用这些方法处理一些简单命 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 1. 已知向量m＝(1)与向量n＝(x－2x)垂直则＝________答案：2解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.·n＝0即x＝2.用反证法证明命题“如果ab那么”时假设的内容应为______________．答案：＝或 解析：根据反证法的步骤假设是对原命题结论的否定即＝或. 3. (选修1练习题3改编)－2与－的大小关系是______________．答案：－2－解析：由分析法可得要证－2－只需证＋＋2即证13＋2＋4即.因为4240所以－2－成立．定义集合运算：A·B＝{Z|Z＝xy设集合A＝{－1＝{则集合A·B的所有元素之和为________答案：0解析：依题意知α≠kπ＋＝kπ＋(k∈Z)时＝＝；＝2kπ或α＝2kπ＋(k∈Z)时＝{0＝{0－1}；＝2kπ＋π或α＝2kπ－(k∈Z)时＝{0－1＝{0－1}；且α≠kπ＋(k∈Z)时＝{sinα＝{0－sinα－cosα}．综上可知A·B中的所有元素之和为0.(选修1练习题4改编)设a、b为两个正数且a＋b＝1则使得＋恒成立的μ的取值范围是________答案：(－∞] 解析：∵ a＋b＝1且a、b为两个正数＋＝(a＋b)＝2＋＋＋＝4.要使得＋恒成立只要μ≤4. 1. 直接证明(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2) 一般形式ABC…本题结论．(3) 综合法定义：从已知条件出发以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．推证过程…… (4) 分析法定义：从问题的结论出发追溯导致结论成立的条件逐步上溯直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻这种证明方法称为分析法．推证过程…… 2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等．(2) 反证法的基本步骤反设——假设命题的结论不成立即假定原结论的反面为真．归谬——从反设和已知出发经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果．存真——由矛盾结果断定反设不真从而肯定原结论成立．[备课札记] 题型1　直接证明(综合法和分析法)例1　数列{a的前n项和记为S已知a＝1＋1＝(n＝1)，证明：(1) 数列是等比数列；(2) Sn＋1＝4a证明：(1) ∵ a＋1＝S＋1－S＋1＝(n＝1)，∴ (n＋2)S＝n(S＋1－S)， 整理得nS＋1＝2(n＋1)S＝2·即＝2数列是等比数列．(2) 由(1)知：＝4·(n≥2)Sn＋1＝(n＋1)·＝4a(n≥2)．又a＝3S＝3＝＋a＝1＋3＝4a对一切n∈N都有S＋1＝4a例2　设a、b、c均为大于1的正数且ab＝10求证：＋bc≥4lgc. 证明：(分析法)由于a1故要证明＋只要证明＋即因为ab＝10故＋＝1.只要证明由于a1故所以2＝＝即成立．所以原不等式成立． 设首项为a的正项数列{a的前n项和为S为非零常数已知对任意正整数n、m＋m＝S＋q总成立．求证：数列{a是等比数列．证明：因为对任意正整数n、m＋m＝S＋q总成立令n＝m＝1得S＝S＋qS则a＝qa令m＝1得S＋1＝S＋qS　①从而S＋2＝S＋qS＋1　②－①得a＋2＝qa＋1(n≥1)综上得an＋1＝qa(n≥1)，所以数列{a是等比数列．题型2　间接证明(反证法)例3　证明：，不能为同一等差数列中的三项．证明：假设，为同一等差数列的三项则m、n满足－②×m得－＝(n－m)两边平方得3n＋5m－2＝2(n－m)左边为无理数右边为有理数且有理数≠无理数故假设不正确即，不能为同一等差数列的三项． 已知下列三个方程：x＋4ax－4a＋3＝0＋(a－1)x＋a＝0＋2ax－2a＝0其中至少有一个方程有实根求实数a的取值范围．解：若方程没有一个实数根则解之得－1. 故三个方程至少有一个方程有实数根的a的取值范围是 1. 用反证法证明命题“a·b(a、b∈Z)是偶数那么a、b中至少有一个是偶数．”那么反设的内容是__________________________________．答案：假设a、b都是奇数(a、b都不解析：用反证法证明命题时反设的内容是否定结论．已知a、b、c∈(0＋∞)且a＜c＜c＋＝1若以a、b、c为三边构造三角形则c的取值范围是________．答案：(10) 解析：要以a、b、c为三边构造三角形需要满足任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边而ac所以a＋bc恒成