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结构动力学
清华大学土木工程系
刘晶波
2005年秋
结构动力学
第4章
多自由度体系
多自由度体系
前面讨论了单自由度体系,它的运动仅需一个运
动方程来描述,求解这个运动方程,就可以得
到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能
量等。
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的,例如
单层的三维空间结构、多层框架结构、大跨桥
梁结构、空间网架结构、大坝、核电站等等。
为合理反映振动过程中惯性力的影响,需要采
用更多的自由度描述结构体系的质量分布并确
定体系的变形。
采用等效单自由度方法可以将多自由度体系化为等效的
单自由度问题求解。例如多层结构抗震设计时采用的
简化分析方法—基底剪力法。
对于均匀多层结构或烟囱,也可以采用如下形函数,
π
ψ(z ) 1−cos z
2H
将结构的位移表示为u(x,t)=ψ(z)q(t),使问题化为一个单
自由度问题。如果形函数取得好,而外荷载又按某一
简单形式分布,则用等效单自由度方法也可以得到相
当好的近似解。
但是,当结构体系复杂或外荷载变化复杂时,用等效的
单自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这
时就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题,
即必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
4.1
两自由度体系的振动分析
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4.2 多自由度体系的
无阻尼自由振动
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
在多自由度体系动力反应分析中,最常用的是振型叠加
法。
振型:结构体系自由振动时的位移形态。N个自由度体系
有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时,自振频率是与之相对应的常
量。对N个自由度体系,一般情况下有个N个自振频率。
多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性,和
单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在
介绍结构动力特性时,首先提及的就是结构的自振频
率和振型。
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
结构的自振振型和频率,可通过分析结构的无阻
尼自由振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为:
M u (t) + K u(t) 0
[ ]{ } [ ]{ } { }
其中[M]、[K]为N ×N阶的质量和刚度矩阵,{u(t)}
和{ü(t)}是N 阶位移和加速度(或广义坐标)向
量,{0}是N阶零向量。
上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程。
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
M u (t) + K u(t) 0
[ ]{ } [ ]{ } { }
⎡m11 m12 L m1N ⎤ ⎡k11 k12 L k1N ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
m m L m k k L k
M ⎢ 21 22 2N ⎥ K ⎢2 1 22 2N ⎥
[ ] ⎢ M M O M ⎥ [ ] ⎢M M O M ⎥
⎢
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