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结构动力学4-1.pdf

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结构动力学 清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋 结构动力学 第4章 多自由度体系 多自由度体系 前面讨论了单自由度体系,它的运动仅需一个运 动方程来描述,求解这个运动方程,就可以得 到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能 量等。 工程中所涉及的结构一般都是多自由度的,例如 单层的三维空间结构、多层框架结构、大跨桥 梁结构、空间网架结构、大坝、核电站等等。 为合理反映振动过程中惯性力的影响,需要采 用更多的自由度描述结构体系的质量分布并确 定体系的变形。 采用等效单自由度方法可以将多自由度体系化为等效的 单自由度问题求解。例如多层结构抗震设计时采用的 简化分析方法—基底剪力法。 对于均匀多层结构或烟囱,也可以采用如下形函数, π ψ(z ) 1−cos z 2H 将结构的位移表示为u(x,t)=ψ(z)q(t),使问题化为一个单 自由度问题。如果形函数取得好,而外荷载又按某一 简单形式分布,则用等效单自由度方法也可以得到相 当好的近似解。 但是,当结构体系复杂或外荷载变化复杂时,用等效的 单自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这 时就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题, 即必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。 4.1 两自由度体系的振动分析 PASS ! 4.2 多自由度体系的 无阻尼自由振动 1 多自由度体系的自振振型和自振频率 在多自由度体系动力反应分析中,最常用的是振型叠加 法。 振型:结构体系自由振动时的位移形态。N个自由度体系 有N个不同的振型。 当结构按某一振型振动时,自振频率是与之相对应的常 量。对N个自由度体系,一般情况下有个N个自振频率。 多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性,和 单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在 介绍结构动力特性时,首先提及的就是结构的自振频 率和振型。 1 多自由度体系的自振振型和自振频率 结构的自振振型和频率,可通过分析结构的无阻 尼自由振动方程获得。 多自由度体系无阻尼自由振动的方程为: M u (t) + K u(t) 0 [ ]{ } [ ]{ } { } 其中[M]、[K]为N ×N阶的质量和刚度矩阵,{u(t)} 和{ü(t)}是N 阶位移和加速度(或广义坐标)向 量,{0}是N阶零向量。 上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程。 1 多自由度体系的自振振型和自振频率 M u (t) + K u(t) 0 [ ]{ } [ ]{ } { } ⎡m11 m12 L m1N ⎤ ⎡k11 k12 L k1N ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ m m L m k k L k M ⎢ 21 22 2N ⎥ K ⎢2 1 22 2N ⎥ [ ] ⎢ M M O M ⎥ [ ] ⎢M M O M ⎥ ⎢
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