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单自由度体系位移动力系数和内力动力系数的分析对于承受一组按相同规律变化的动荷载的体系，某截面某量的最大动力效应与动荷载的最大值所产生的静力效应的比值的绝对值称为该量放大系数，各截面中该量最大的放大系数，称为该体系该量的动力系数。而所有截面的弯矩放大系数的最大者，称为该体系的弯矩动力系数。关于各量（如位移、内力）的动力系数是否相同，先看一个具体的例子，再作一些讨论。一、对于右图所示的体系，它的振动微分方程为：其特解：其中为动荷载最大值P作用下在A点产生的静力水平位移：惯性力为：与简谐荷载变化相同，且同时达到最大值和。点弯矩为：其中是动载幅值P作用下O点的静弯矩，于是A点的水平于是位移放大系数可得，为：故O点截面弯矩的放大系数： 于是，我们得到了A点的位移放大系数和点O的弯矩放大系数相等，都为。考虑更一般的情况，考察截面B，如右图（）。图乘，可得 （式1）考察动荷载效应时，加上惯性力和动荷载最大值为计算简图(如图)。得弯矩图，图乘，有：（其实就是将式1中的P换成I1+P）于是，也就是说，在任何截面上，位移放大系数都是相等的，为。B点弯矩： 可以看出，任意截面上弯矩动力放大系数相等。从以上讨论可以看出，对于单自由度体系在与质点振动方向一致的简谐荷载作用下，其动力反应有如下几个特点： ①动荷载与惯性力均随时间按同一规律变化。当时，动荷载与惯性力同向；时，两者反向；。②由于动荷载随时间变化规律相同，不同截面之间位移（弯矩）动力放大系数相同；同一截面上位移和弯矩的放大系数相等。 ③因此，此体系的各量的动力系数相同，为：二、下面讨论下图的情况（荷载不作用在质点处）。柔度法，有其中，，设，代入上式，消去公因子，得：惯性力：这里A点位移放大系数为：而O点的动弯矩为：当=1时，，退化到简简谐力方向与质体振动方向重情况。接着我们按照之前的思路，考虑任意截面B上的动力系数。不妨设 当时，退化成从图乘步骤可以看出，本质上是弯矩在P作用点上斜率发生了变化，使动弯矩与静弯矩的比值不是单一的直线斜率，而是折线的相关组合。为了观察动力系数沿截面的变化，我们不妨取 可以得到杆各截面上的位移放大系数曲线当时。 时， 于是，综合上述分析，我们总结到，其动力反应有如下特点：、动荷载和惯性力随时间变化规律仍然相同。、由于动荷载和惯性力不共线，所以各截面各量的放大系数不相同。表现为同一截面，内力放大系数和位移放大系数不同；不同截面间位移（弯矩）放大系数也不相同。③、对于单自由度体系，当考虑集中质量点的位移放大系数时，不论简谐荷载是否和质体振动方向重合，其放大系数都为三、总结①单自由度体系，当动荷载作用线与质体的振动位移方向重合时，各截面各量放大系数均相同。②当动荷载作用线位置并非质体所在位置时，这一结论不适用。结构动力学小论文单自由度体系位移动力系数与内力动力系数分析2015-5-9 7 / 7