结构动力学5.ppt

5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel积分，Fourier变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近曲线。时域逐步积分法是结构动力学问题中一个得到广泛研究的领域。 时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移ui=u(ti)，速度 , i = 0, 1, …。而这种离散化正符合计算机存贮的特点。一般情况下采用等步长离散，ti=iΔt。与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。 5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 等步长离散，ti=iΔt。 体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足。 5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断： (1) 收敛性：当Δt→0时，数值解是否收敛于精确解； (2) 计算精度：截断误差与时间步长Δt的关系，若误差∝O(Δtn)，则称方法具有n阶精度； (3) 稳定性：随时间步数i的增大，数值解是否变得无穷大（远离精确解）； (4) 计算效率：所花费的计算时间。 一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度（例如二阶，满足工程要求）、良好的稳定性、较高的计算效率。在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费时的方法，得不到应用和推广。 5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 逐步积分法按是否需要联立求解耦联方程组，可分为两大类： 隐式方法：逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark—β法、Wilson —θ法。 显式方法：逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法。 下面先介绍一下分段解析算法，然后再重点介绍两种常用的时域逐步积分法—中心差分法和Newmark—β法。 5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 1、分段解析法（Piecewise Exact Method） 分段解析算法假设 在ti≤t≤ti+1时段内 如果荷载p(t)采用 计算机采样，即 离散数值采样， 则以上定义可 认为是准确的。 图5.5 分段解析法对外荷载的离散 5.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 在ti≤t≤ti+1时段内体系的运动方程： 初值条件： 运动方程的特解 : 运动方程的通解 : 5.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 全解u(τ)=up(τ)+uc(τ)代入边界条件确定系数A、B， 最后得： 其中， ？ 5.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 当τ=Δti时，得到 其中系数A—D′是结构刚度k，自振频率ωn，阻尼比ζ和时间步长Δt的函数。 上式给出了根据i时刻运动及外力计算i+1时刻运动的递推公式。如果结构是线性的，并采用等时间步长，则A—D′均为常数，其计算效率非常高，在p(t)离散采样的定义下是精确解，但如果是非线性问题，则A—D′均为变量，计算效率会大为降低。 5.3 时域逐步积分法 表5.1 分段解析法计算公式中的系数 5.3 时域逐步积分法 分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设， 而在连续时间轴上严格满足运动微分方程。 一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要求在离散的时间点上满足运动方程，相当于放松了运动的约束 。 5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导（即速度和加速度）。如果采用等步长，Δti=Δt，则i时刻速度和加速度的中心差分近似为： 5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分方法计算中的起步处理方法 初始条件为 ： 5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分法计算步骤： (1). 初始计算 (2). 根据i及i以前时刻的运动，计算i+1时刻的运动 (3). 下一步计算用i+1代替i，重复(2)中的计算步骤。 5.3 数值计算方法—时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分法的精度和数值稳定性 以上给出的中心差分逐步积分