二自由度系统的振动课件.ppt

現在的問題是，是否存在一種系統座標q1（t）和q2（t），當使用此坐標系時，系統方程既無靜力耦合，又無慣性耦合。下麵將會看到，這類坐標系的確存在，並將其稱為自然座標或主座標。對(3-10)式表示的二自由度系統的運動方程，將其解表示成以下形式其中r1，r2為由(3-30)式表示的,。(3-40)這裏用(3-40)的形式似乎是一種人為的設計，但到下一章將會看到它的邏輯性和合理性。(3-10)3.1二自由度系統的自由振動將(3-40)代入(3-10)，得(3-41a)(3-41b)將(3-41a)乘以m2r2，(3-41b)乘以m1，兩式相減得(3-42a)再給(3-41a)乘以m2r1，(3-41b)乘以m1，由第二式減去第一式得(3-42b)將(3-30)式代入(3-42)，可簡化為3.1二自由度系統的自由振動(3-43)這裏為系統的自然頻率。與(3-10)式比較，發現以q1(t)和q2(t)為座標的方程(3-43)無耦合項，是完全相互獨立的。像q1(t)和q2(t)這樣的能使系統運動方程相互獨立的坐標系稱為自然座標或主座標。方程(3-43)的解為(3-44)將(3-44)代入(3-40)得(3-45)3.1二自由度系統的自由振動其中和為模態向量，振幅C1和C2以及相角φ1和φ2由初始條件決定，方程(3-46)與(3-33)完全相同。說明系統在任意時刻的運動是自然振型與相應模態回應乘積的疊加。(3-46)寫成矩陣形式3.1二自由度系統的自由振動例3-3對於例3-2討論的簡化汽車模型，設系統參數的取值為：m＝1200kg，IC=2500kgm2，k1=28000N/m，k2=32000N/m，a=1.5m，b=2.0m，試確定系統的主座標。要確定系統的主座標，必須首先確定系統的自然模態，將上述參數代入方程(3-36)得(a)解：相應的特徵值問題為(b)3.1二自由度系統的自由振動分別為和其中和的幅值，由此可得到系統的特徵方程(c)其解為(d)系統的自然頻率為ω1＝6.70rad/s和ω2＝9.03rad/s。將ω12代入方程(b)的第一行，得得到(e)3.1二自由度系統的自由振動再將代入方程(b)的第一行，得到由此得到(f)系統的自然模態為(g)將方程(e)和(f)代入(3-40)，其中，得到(h)將上式代入運動方程(a)，並經過(3-41)和(3-42)的步驟後，可簡化得到如下的以自然座標表示的相互獨立的系統運動方程3.1二自由度系統的自由振動(i)因此，方程可以分別求解，其解為(j)系統的運動可表示為(k)前面已經提到，二自由度系統自由回應解的幅值C1和C2以及相角φ1和φ2取決於系統的初始條件。3.1二自由度系統的自由振動(3-47)設系統的初始條件為，，，將初始條件代入方程(3-45)得(3-45)3.1二自由度系統的自由振動(3-47)是關於4個未知，，，的代數方程，其解為(3-48)3.1二自由度系統的自由振動由(3-48)可解出(3-49)方程(3-45)和(3-49)完全確定了系統對於初始條件的回應。3.1二自由度系統的自由振動例3-4對於例3-1所示的系統，當初始條件為時，求系統的自由回應。3.1二自由度系統的自由振動由(e)式可知，，將這些參數連同初始條件一併代入(3-49)式，得(a)解：由例3-1的(c)式可知3.1二自由度系統的自由振動將(a)代入(3-45)得系統對初始條件的回應為(b)3.1二自由度系統的自由振動分析如圖3-5（a）所示的系統，兩個完全相同的單擺通過彈簧k相連。相應的分離體如圖3-5b所示