4多自由度系统的振动(研).ppt

三个固有频率 求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列 将各频率依次代入，即得各阶主振型 4.4 无阻尼系统对初始条件的响应 Mechanical and Structural Vibration 各阶主振型 将三阶主振型为列，依次排列组成主振型矩阵 求出主质量矩阵 求出正则振型，进一步建立正则振型矩阵 4.4 无阻尼系统对初始条件的响应 Mechanical and Structural Vibration 求系统初始条件的正则坐标表示 4.4 无阻尼系统对初始条件的响应 Mechanical and Structural Vibration 求出响应为 若初始条件为 求系统的响应 4.4 无阻尼系统对初始条件的响应 Mechanical and Structural Vibration 由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率p2作谐振动。 4.4 无阻尼系统对初始条件的响应 Mechanical and Structural Vibration 第4章 多自由度系统的振动 4.5 质量、刚度的变化对固有频率的影响 Mechanical and Structural Vibration 4.5 质量、刚度的变化对固有频率的影响 一般工程结构和机械的工作状态都要避开共振。因此，在设计过程中，要变更系统的物理参数，如质量、刚度等，使其固有频率适当地偏离激振力的频率。所以，需要探讨固有频率随质量、刚度变更的情况。 当K中的元素增大时，pi2将增大； 当M中的元素增大时， pi2将减小。 Mechanical and Structural Vibration 设系统的M矩阵中各元素不变，求K矩阵元素的变化对系统各阶固有频率的影响。 设系统中第j个弹性元件kj发生变化，将上式对kj求导数，得 式两端前乘以 转置 系统各阶固有频率的变化率与刚度元素 的变化率成正比。 4.5 质量、刚度的变化对固有频率的影响 Mechanical and Structural Vibration 4.2.2主振型矩阵与正则振型矩阵 以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即 根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质 主质量矩阵 主刚度矩阵 4.2 主坐标和正则坐标 Mechanical and Structural Vibration 4.2.2主振型矩阵与正则振型矩阵 使MP由对角阵变换为单位阵 将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即 这样得到的振型称为正则振型。 正则振型的正交关系是 第i阶正则振型 第i阶固有频率 4.2 主坐标和正则坐标 Mechanical and Structural Vibration 4.2.2主振型矩阵与正则振型矩阵 以各阶正则振型为列，依次排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即 由正交性可导出正则矩阵两个性质 谱矩阵 4.2 主坐标和正则坐标 Mechanical and Structural Vibration 4.2.3主坐标和正则坐标 在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。 由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵AN，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。 4.2 主坐标和正则坐标 Mechanical and Structural Vibration 4.2.3主坐标和正则坐标 1. 主坐标 首先用主振型矩阵进行坐标变换，即 主坐标矢量 这组坐标变换的物理意义，可由展开式看出 4.2 主坐标和正则坐标 Mechanical and Structural Vibration 4.2.3主坐标和正则坐标 原物理坐标的各位移值，都可以看成是由n个主振型按一定的比例组合而成。 新坐标 比例因子 系统各坐标值正好与第一阶主振型相等，即每个主坐标的值等于各阶主振型分量在系统原物理坐标中占有成分的大小。 如果令 则可得 4.2 主坐标和正则坐标 Mechanical and Structural Vibration 4.2.3主坐标和正则坐标 将式 由主振型矩阵的两个性质 前乘以