单自由度系统的自由振动A.ppt

* * * * * * * * 等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动 内燃机排气阀系统等效质量 广义坐标： 阀门C点的垂直位移xc 系统动能： 将系统动能表示为广义坐标一阶导数的二次函数 等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动 内燃机排气阀系统等效质量 广义坐标： 阀门C点的垂直位移xc 系统动能： 此系统简化到阀门C点的等效质量 如果阀簧刚度系数为k 此系统简化到阀门C点的等效刚度为k 此系统的固有频率 扭转振动 讨论需要用角位移?作为独立座标来表达振动状态的角振动问题。 在这种情况下，运用牛顿运动定律得到转动方程式 式中J是转动物体对于转动轴的转动惯量， 是角加速度，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与?角位移一致时为正。 以扭转振动和复摆两种情况为例 扭转振动 如图所示的一根垂直轴，下端固定着一个水平圆盘，圆盘的转动惯量为J。 轴的扭转刚度为K?。其含义是使轴转动一单位转角所需施加的力矩，单位是N·m/rad。 对于一根长度为，直径为d的圆轴，根据材料力学，它的扭转刚度为 G为材料的剪切弹性模量。轴本身质量忽略不计。 当系统受到某种干扰，如在圆盘平面上加一力偶，然后突然除去，系统便作扭转自由振动。如果没有阻尼，振动将永远继续下去。 设?为圆盘上任一半径从它的静平衡位置量起的角位移，按图示方向为正。振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的、与?方向相反的弹性恢复力矩 扭转振动 扭转振动 得系统扭振的微分方程 或 式中 与弹簧质量系统的运动微分方程相比较 具有完全相似的微分方程式，可以直接写出其通解 式中A与?同样是两个待定常数，决定于扭转振动的初始条件： 一个单自由度系统的扭振也是简谐振动。它的固有频率为 扭转振动 复摆 一个刚体由于本身重力作用而绕某一轴作微摆动，称为复摆（或称物理摆）。 转动轴称为摆的悬挂轴（或称悬点）。设刚体质量为m，对悬点O的转动惯量为I0，重心C至悬点O距离为a。 以?表示摆在任意瞬时偏离垂直平衡位置的角位移，此时重心C作圆弧运动，重力的切向分力mgsin?将产生一个恢复力矩mgasin?。 根据转动方程，可得复摆的微分方程 上式是非线性微分方程式。在微摆动时， 复摆的微分方程可简化为 或 这是一个与扭振同形式的微分方程，具有相同形式的通解。 或 扭转振动 其通解 固有圆频率为 固有频率为 用实验方法测定f后，用上式可计算出刚体绕悬点的转动惯量I0 再根据转动惯量的移轴定理，可计算出刚体绕重心轴的转动惯量JC 以上是一种测定形状比较复杂的构件的转动惯量常用的实验方法。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第一章 单自由度系统的自由振动 单自由度系统 最简单、最基本的振动系统 线性系统：动力学方程为常系数线性微分方程 非线性系统:动力学方程为非线性微分方程 自由振动 自由振动是指系统受初始扰动后，仅靠系统自身恢复力维持的振动。 无阻尼自由振动 有阻尼自由振动 或 ch1 单自由度系统的自由振动—讨论的内容 单自由度系统自由振动的运动方程 单自由度系统自由振动运动方程的解 解的一般形式 自由振动的频率 影响自由振动参数的因素 单自由度系统自由振动的运动规律 对初始条件的响应 求解无阻尼单度系统自由振动问题的能量法 无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T与势能V之和保持不变。 动能为零时势能达到最大值。将动能取最大值时的势能取作零，则有 简谐振动及其表示方法 三角函数表示法 旋转矢量表示法?旋转矢量投影法 复数表示法 三角函数表示法 物体作简谐振动时，其位移可表示为谐波函数 或 周期：振动一次所需的时间T, 单位： 秒（s ） 角频率（圆频率）ω :振动矢量每秒转过的角度（弧度），单位: 弧度 ／秒（rad/s） 频率：每秒振动的次数 f，单位：赫兹（Hz）（s-1） 三角函数表示法（续） 简谐振动的速度 简谐振动的加速度 作简谐振动的线性系统，其位移、速度、加速度均为同频率简谐函数； 相位角：速度超前位移 π/2 ； 加速度超前位移 π，超前速度π/2 简谐振动的三要素： 频率、振幅、初始相位 旋转矢量表示法—旋转矢量投影法 长度为A的矢量以匀角速度ω在平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。 频率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0时矢量与坐标轴的夹角。 1．两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。 2．直观表示简谐振动位移．速度．及加速度之间的相对关系。 O x y A φ ω 旋转矢量表示法—旋转矢量投影法 1．两个