第5章 两自由度系统的振动.docx

第5章 两自由度系统的振动 第5章 两自由度系统的振动 第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角θ 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 1+(k 1+k 2) x 1-k 2x 2=0?m 1 x 2-k 2x 1+k 2x 2=0m 2 x ? 图5-2两自由度的弹簧质量系统 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 1+ax 1-bx 2=0?x ? (5-2) 2-cx 1+dx 2=0?x 显然此时 k 1+k 2 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 或写成以下的矩阵形式 ?x 1??A 1????? ??=??sin(pt +α) ??x 2????A 2??x 1=A 1sin(pt +α) ?? x 2=A 2sin(pt +α) ?? 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ?a -p 2 ??-c -b ??A 1??0? ?=?? 2??d -p ??A 2??0? 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 展开后为 ?(p ) = a -p 2-c -b d -p p 4-(a +d ) p 2+ad -bc =0 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是p 2的二次代数方程，它的两个特征根为 a +d ?a +d ? = ?-(ad -bc ) 22??a +d a -d ?= ?+bc 由于式(5-7)确定的p 2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比 (1) A 2a -p 12c ?ν1=(1) ==? b A 1d -p 12? ? (2) 2 A a -p 2c ?ν2=2==2?b A 1(2) d -p 2? 以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动 时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值 x 1也同样是确定的，并且等于振幅比，即： (1) x 2 =ν1, x 1(1) (2) x 2 =ν2 (5-9) x 1(2) 其它各点的位移则都可以由x 1和x 2所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。与p 1对应的振幅比ν1称为第一阶主振型，与p 2对应的振幅比ν2称为第二阶主振型。 将式(5-7)中的p 1、p 2之值带入式(5-8)，得 1?a -d ν1=?+ 1?a -d ν2=?+ 2?a -d ? ?+bc ?0 ???? 2??a -d ? ??2???? 这表明，系统以频率p 1振动时，质量m 1与m 2按同一方向运动；以频率p 2振动时，总是按相反的方向运动。 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动。第一阶主振动为 x 1=A 1(