单自由度系统的振动.ppt

第一章单自由度系统的振动

单自由度系统的无阻尼自由振动

阻尼系统的自由振动

单自由度系统的强迫振动

单自由度的定义

01自由度：指完整描述一个振动系统时间特性所需的最

少的独立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。

02只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，

简称单自由度系统。

1单自由度系统的无阻尼自由振动

自由振动：系统在初始激励下，或外加激励消失后的一种振

动形态，是没有外界能量补充的振动。

系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象，是一种理想条件，

实际的系统都有阻尼。如果现实世界没有阻止运动能力的话，整

个世界将处于无休止的振动中。

质量-弹簧系统（m-k）

隔离体受

力分析

kx

kx(t)

m

O

建立系统的微分方程

根据m牛顿x第二定律（NewtFonsecondlaw）

建立系统的微分方程。

方程化简

对于无F阻尼自k由x振动，我们有

mxkx0

因此，原方程改写为：

确定微分方程的初始条件

x0x0

l在t=0时，初始位移为，初始速度为

l则方程的初始条件为：

x(0)x0x(0)x0

和

完整形式

mxkx0

单自由度无阻尼自由振动的运动微分方程为：

x(0)x0x(0)x0

k



nm

改写

x2x令0，则上式可以写为

01n

，

x0x0x0x0

求解系统微分方程

0102

上面得到的为质量m的根据微分方程的理论，

位移x随时间t变化的二可知该微分方程组的通

阶、常系数、齐次常微解为：

分方程。xA1cosntA2sinnt

Acos(nt)

积分常数的确定

0102

这里的A，是对通解两端求导

x任意A常数，由s微intAcost

分方程1的初n始条n2nn

件，即运动的初

始条件确定

代入初始条件

t0

x(0)x0A1x(0)x0A2n

当时，从而得到

x0

A1x0A2

n

三角公式推导

AA

xAcostAsintA2A2(1cost2sint)

101n2n102222n2032n

A1A2A1A2

A1

cosA2

22sin

A1A222

A1A2

根据三角函数公式令：则

AA

xAcostAsint