2026新高考数学一轮复习专题：立体几何解答题常考模型归纳总结（解析版）未修改.pdf

新高考数学一轮复习

专题突破立体几何解答题常考模型归纳总结

题型一:非常规空间几何体载体

【典例1-1]（2024-河南濮阳•模拟预测）如图，侧面BCCiB]水平放置的正三棱台

4BC—B]Ci，』B=2Bi=4,且侧棱长为

B

⑴证：441上平面BCC]B】；

（2）直线AB和平面ACBx所成角的正弦值.

【解析】（1）延长三条侧棱交于一点O,如图所示.

由于如=2，E=4,则B.A^AOBA的中位线.

又侧棱长为所以OB=OA=2e所以。度+口成二怀二^,所以04上OB,

同理可得OA1OC.OB1OC.

因为OB,OC是平面破。内两条相交直线，所以。4上平面OBC,即平面BCC〔B].

（2）由（1）可知OA.OB.OC两两垂直，可以以OA.OB.OC所在的直线分别为]轴、V轴、z轴建立空间

直角坐标系，如图所示.

A

则刀（0,0,2回,B（20,0）C（0,21^2,0）,Bx（Ao,0）质=（2^,0,—2扼）.

设平面力皿的一个法向量为万=（x,w）,

由于=(o,2V2,-2V2),Z；=(V2,0,-2V2),

带衣=2也y-2也=0,]|%=2

所以—-I—I—n〈,

项•刀0=J2x—2/=0,〔*=1

【典例1-2】（2024•云南昆明•三模）如图，在三棱台ABC-A^Q中，上、下底面是边长分别为2和4

的正三角形，平面ABC,设平面ABxCxA平面ABC=l,点E,尸分别在直线/和直线时]上，且满足

EF顼,EF1BB..

（1）证明：EE_L平面BCC%

（2）若直线EF和平面ABC所成角的正弦值为争，该三棱台的高.

【解析】（1）证明：由三棱台0BC-B]C]知，B]CJI平面ABC,

因B\C\U平面C，且平面A平面ABC=l,所以BQ〃I,

又BQ〃BC,所以IIIBC,

因为EFJLI,所以EF1BC,

又EF1BBX,BCnBB〔=B,且BCu平面a.u平面BCCXBX,

所以EE上平面BCC]B].

（2）以A为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为力，

则3（2,2妊0）,8]（1危』），C（-2,20,0）,苞=（4,0,0）,函=（-1,顼,中

4x=0

设平面Bccq的法向量为元=3况z）,贝ij厂，

—X—73*+hz=0

令y=h,贝lJz=V3,所以平面BCC]B1的一个法向量万=（0,如右），

易得平面48。的一个法向量沅=（0,0,1）,

设时与平面48。夹角为们由（1）知EFUn^

所以由已知得in6=|com,n|=,=~~f===毛，

解得力=斤，所以三棱台的高为店.

【变式1-1】（2024•天津和平•二模）如图，三棱台ABC-A^C.中，VABC等边三角形,

AB=24A=4,44]_L平面如C,点，N,。分别为如，AC,3。的中点，AXBLACX.

（1）证明：CCJI平面MN；

（2）直线D与平面也所成角的正弦值;

（3）点D到平面A、MN的距离.

【解析】（1）因为侧棱44]上底面ABC,VABC等边三角形，所以过点A作AHLAC,则以为点力为

坐标原点，AC，AH，M的方向分别为x轴，尹轴，z轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系,

设AA.长为m(rn0),则力(0,0,0),4(。,。,初),8(2,20),C】(2,0,初)

UULLlLIUUL

AXB—(2,2-\/3,—m)»ACX—(2,0,m),

因为刀G，所以AXB-ACX=0,贝!］有4一秫2=0，m=2.

所以力(0,0,0),3(2,20,0),C(4,o,o),C/2,0,2),W(°，°，2),M(1,0,O),N(