(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第11讲 垂径定理+课后巩固练习+随堂检测（原卷版）.docx

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第11讲垂径定理

【知识点1垂径定理及其推论】

（1）垂径定理

????垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

????推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

????推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

????推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

【题型1利用垂径定理求线段长度】

【例1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（）

A．1B．3C．2D．4

【变式1-1】如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）

A．6B．62C．8D．

【题型2利用垂径定理求角度】

【例2】如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）

A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°

【变式2-1】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）

A．60°B．90°C．120°D．135°

【变式2-2】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．

（1）若AB＝6，求DE的长；

（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．

【题型3利用垂径定理求最值】

【例3】⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）

A．12B．1C．32

【变式3-1】如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为（）

A．1B．233C．33

【变式3-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）

A．910B．65C．85

【题型4利用垂径定理求取值范围】

【例4】如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）

A．8＜m≤45B．45＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m

【变式4-1】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

【题型5利用垂径定理求整点】

【例5】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）

A．1个B．3个C．6个D．7个

【变式5-1】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）

A．6B．7C．8D．9

【变式5-2】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是，⊙C上的整数点有个．

【题型6利用垂径定理求面积】

【例6】如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）

A．2B．1C．32D．

【变式6-1】如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）

A．125π4B．275π4C．125π9

【题型7垂径定理在格点中的运用】

【例7】如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（