(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第02讲 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质+课后巩固练习+随堂检测（教师版）.docx
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第02讲二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【考点一把y＝ax2＋bx＋c化成顶点式】
【例1】将二次函数化成的形式，结果为．
【答案】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，故答案为：．
【变式训练】
【变式1-1】将抛物线化成顶点式为．
【答案】
【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式．
【详解】解：由抛物线可化为顶点式为；故答案为．
【变式1-2】二次函数图象的顶点坐标是．
【答案】
【分析】将该二次函数解析式化为顶点式，解进行解答．
【详解】解：根据题意可得：，∴该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【变式1-3】二次函数的图象开口向，顶点坐标为．
【答案】上
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
故答案为：上，．
【考点二二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质】
【例2】已知抛物线，下列结论错误的是（????）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可．
【详解】解：由抛物线，可知：，抛物线开口向上，因此A选项正确；
抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确；当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确；因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误；故选D．
【变式训练】
【变式2-1】关于抛物线的判断，下列说法正确的是（????）．
A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线
C．在抛物线对称轴左侧，随增大而减小D．抛物线顶点到轴的距离是2
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，当时，，所以顶点坐标为，故抛物线顶点到x轴的距离是2；综上所述只有D选项正确；故选D．
【变式2-2】在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（）
A．图象顶点坐标为，对称轴为直线．
B．的最小值为．
C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小．
D．它的图象可由的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到．
【答案】D
【分析】根据题意，二次函数，可以知道函数开口向上，对称轴为，顶点为，即可判断A、B、C选项正确；根据平移的规律，可以判断D选项错误．
【详解】二次函数，，该函数开口向上，对称轴为，顶点为，A选项正确；当时，有最小值，B选项正确；当时，的值随值的增大而增大，
当时，的值随值的增大而减小，C选项正确；根据平移的规律，的图像向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得：，D选项错误；故选：D．
【考点三求二次函数与x轴的交点坐标】
【例3】抛物线与轴交点坐标为__________．
【答案】
【分析】令，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：令，即，解得
则抛物线与x轴的交点坐标为,
故答案为：．
【变式训练】
【变式3-1】二次函数图象与轴的交点坐标为_________．
【答案】
【分析】令，解方程即可求解．
【详解】解：令，得，解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标为，故答案为：．
【变式3-2】二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为________．
【答案】10
【分析】令，可得方程，解方程即可求解．
【详解】解：令，则，解得，，
∴，，∴．故答案为：10．
【考点四求二次函数与y轴的交点坐标】
【例 4】抛物线与y轴交点的坐标为____．
【答案】
【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点．
【详解】解：当时，抛物线与轴相交，把代入，求得，
抛物线与轴的交点坐标为．故答案为：．
【变式训练】
【变式4-1】抛物线与y轴的交点坐标为______．
【答案】
【分析】计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当时，，所以抛物线与y轴的交点坐标为．
故答案为．
【变式4-2】二次函数的图象与轴交点坐标是________．
【答案】
【分析】令，求出对应的函数值y，即可解答．
【详解】解：当时，，∴二次函数的图象与轴交点坐标是．
故答案为：．
【变式4-3】抛物线与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标是_______．
【答案】，
【分析】根据题意，令