(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第10讲 圆心角、弧、弦的关系+课后巩固练习+随堂检测（教师版）.docx
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第10讲圆心角、弧、弦的关系
【知识点1弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1圆心角、弧、弦的概念】
【例1】下列语句中，正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．
【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．
【变式1-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（）
A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB=AD D．∠BCA
【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到BC=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，∴BC=CD，∴BC＝CD，故选：
【变式1-2】）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：在⊙O中，AB=CD，∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴
∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．
【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠
A．32° B．60° C．68° D．64°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠
【解答】解：∵AE=BD，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠
∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．
【变式2-1】如图，在⊙O中，AB=
A．60° B．30° C．45° D．40°
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．
【解答】解：∵AB=CD，∴∠2＝∠1＝45°，故选：
【变式2-2】如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝120°．
【分析】证明AC=
【解答】解：∵AC＝BD，∴AC=BD，∴∠BOD＝∠
【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（）
A．1 B．2 C．2 D．22
【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得AC=BD，继而可得BC=AD，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得
【解答】解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，∴AC=BD，∴BC=AD，∴∠ABD＝∠BAC，∴
∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，∴AD=2R，∵AD＝22，∴R＝2，故选：C
【变式3-1】如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（）
A．32 B．32 C．3
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据垂径定理求出OD⊥AE，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出MD即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°，∵M为弧AE的中点，OM过圆心O，
∴OM⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴OD=12OA=12×6=3，∴MD＝OM
【变式3-2】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥A