(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第10讲 圆心角、弧、弦的关系+课后巩固练习+随堂检测（原卷版）.docx

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第10讲圆心角、弧、弦的关系

【知识点1弧、弦、角、距的概念】

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

【题型1圆心角、弧、弦的概念】

【例1】下列语句中，正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；

③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（）

A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB=AD D．∠BCA

【变式1-2】）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是

【题型2利用圆心角、弧、弦的关系求角度】

【例2】如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠

A．32° B．60° C．68° D．64°

【变式2-1】如图，在⊙O中，AB=

A．60° B．30° C．45° D．40°

【变式2-2】如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝．

【题型3利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】

【例3】如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（）

A．1 B．2 C．2 D．22

【变式3-1】如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（）

A．32 B．32 C．3

【变式3-2】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【变式3-3】如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则

【题型4利用圆心角、弧、弦的关系求周长】

【例4】如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

【变式4-1】如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于．

【变式4-2】如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为．

【题型5利用圆心角、弧、弦的关系求面积】

【例5】如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点

（1）求证：CD＝CE；

（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．

【题型6利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】

【例6】如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的度数为（）

A．50° B．25° C．80° D．65°

【变式6-1】如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为．

【变式6-2】把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（）

A．120° B．135° C．150° D．165°

【题型7利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】

【例7】如图，在⊙O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦AC

A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC

【变式7-1】如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．

【变式7-2】如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+

A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF

C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定

【题型8圆心角、弧、弦中的证明问题】

【例8】如图，AB为⊙O的直径，BE=CE，