(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第16讲 切线长定理及三角形的内切圆+课后巩固练习+随堂检测（原卷版）.docx

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第16讲切线长定理及三角形的内切圆

【人教版】

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【题型1利用切线长定理求周长】 1

【题型2三角形内切圆中求角度】 3

【题型3三角形内切圆中求面积】 4

【题型4三角形内切圆中求线段长度】 5

【题型5三角形内切圆中求半径】 7

【题型6三角形内切圆中求最值】 9

【题型7外接圆和内切圆的综合运用】 8

【知识点1切线长定理及三角形的内切圆】

（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

（2）三角形内切圆

三角形内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆

内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心

三角形的内心到三角形三边的距离相等

【题型1利用切线长定理求周长】

【例1】如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为．

【变式1-1】如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．

【变式1-2】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧AB上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．

（1）求∠P的度数；

（2）求△PDE的周长；

（3）求四边形DEMN的周长．

【题型2三角形内切圆中求角度】

【例2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝°，∠DEF＝°．

【变式2-1】如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED.

（1）若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．

（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．

【题型3三角形内切圆中求面积】

【例3】如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．

【变式3-1】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝22，则△ABE的面积为（）

A．22 B．2 C．2

【变式3-2】如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（）

A．150π B．1503 C．3003 D．200

【题型4三角形内切圆中求线段长度】

【例4】如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A＝60°，CB＝6cm，△ABC的周长为16cm，则DF的长等于（）

A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm

【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长度是．

【变式4-2】如图，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是cm．

【题型5三角形内切圆中求半径】

【例5】如图，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD内切圆的半径是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式5-1】若四边形ABCD有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积为S，各边长分别为a，b，c，d，则该圆的直径为（）

A．a+b+c+dS B．Sa+c C．c?dS(a+b)

【变式5-2】如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于．

【题型6外接圆和内切圆的综合运用】

【例6】如图，⊙O内切于Rt△ABC，切点分别为D、E、F，∠C＝90°．已知∠AOC＝120°，则∠OAC＝°，∠B＝°．已知AC＝4cm，BC＝3cm，则△ABC的外接圆的半径为cm，内切圆的半径为cm．

【变式6-1】如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D