(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第12讲 圆周角定理+课后巩固练习+随堂检测（原卷版）.docx

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第12讲圆周角定理

【人教版】

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【题型1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 2

【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 3

【题型3直径所对的圆周角是90°的运用】 4

【题型4翻折中的圆周角的运用】 6

【题型5利用圆周角求最值】 7

【题型6圆周角中的证明】 9

【题型7圆周角中的多结论问题】 10

【题型8构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 11

【题型9圆周角与量角器的综合运用】 12

【题型10利用圆周角求取值范围】 错误！未定义书签。

【知识点1圆周角定理及其推论】

圆周角定理

定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半

是所对的圆心角，

是所对的圆周角，

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等

和都是所对的圆周角

推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径

是的直径

是所对的圆周角

是所对的圆周角

是的直径

【题型1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】

【例1】如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（）

A．12° B．22° C．24° D．44°

【变式1-1】如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）

A．95° B．100° C．105° D．130°

【变式1-2】如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（）

A．100° B．70° C．55° D．65°

【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】

【例2】如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）

A．42° B．45° C．48° D．52°

【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（）

A．70° B．65° C．50° D．45°

【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CE=CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠

A．92° B．108° C．112° D．124°

【题型3直径所对的圆周角是90°的运用】

【例3】如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）

A．4 B．5 C．3 D．2

【变式3-1】如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（）

A．32° B．27° C．24° D．18°

【变式3-2】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．

【题型4翻折中的圆周角的运用】

【例4】如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（）

A．45° B．55° C．65° D．70°

【变式4-1】已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（）

A．45 B．25或45 C．25

【题型5利用圆周角求最值】

【例5】如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（）

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式5-1】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．

【变式5-2】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．2

【题型6圆周角中的证明】

【例6】如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧AC上运动，连接EC，BE，交AC于点F．

（1）求∠E的度数；

（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延