(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第15讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质+课后巩固练习+随堂检测（教师版）.docx

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第15讲直线与圆的位置关系及切线的判定与性质

【人教版】

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【题型1已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】2

【题型2已知直线与圆的位置关系确定取值范围】4

【题型3根据直线与圆的位置关系确定交点个数】6

【题型4利用直线与圆的位置关系求最值】9

【题型5定义法判断切线】13

【题型6切线的判定（连半径证垂直）】15

【题型7切线的判定（作垂直证半径）】19

【题型8利用切线的性质求线段长度】23

【题型9利用切线的性质求角度】27

【题型10利用切线的判定与性质的综合运用】30

【知识点1直线与圆的位置关系】

直线与圆的位置关系

设的半径为，圆心到直线的距离为

则有：

相交：直线和圆有两个公共点

直线和相交

相切：直线和圆只有一个公共点

直线和相切

相离：直线和圆没有公共点

直线和相离

【题型1已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】

【例1】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（）

A．相离B．相交C．相切D．相交或相切

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．

【变式1-1】在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2?1的图象上，以点P

A．相离B．相切C．相交D．三种情况均有可能

【分析】设P（t，14t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出OP=14t2+1，再计算出P点到直线y＝﹣2的距离为14t

【解答】解：设P（t，14t2﹣1），∴OP=t2+(14t2?1)2=(14t2+1)2=14t2+1，∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），∴P点在直线y＝﹣2的上方，∴P

【变式1-2】如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（）

A．l1B．l2C．l3D．l4

【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断．

【解答】解：∵直线l1与⊙O相切，∴圆心O到一条直线l1的距离为5，∵直线l2与⊙O相离，∴圆心O到一条直线l2的距离大于5，∵直线l3与l4与⊙O相交，∴圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，而圆心O到直线l3的距离较小，∴圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3．故选：C．

【题型2已知直线与圆的位置关系确定取值范围】

【例2】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）

A．0≤r≤125B．125≤r≤3C．125≤

【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．

【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，

∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，

当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，

∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r=125，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴125≤

【变式2-1】以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）

A．0≤b＜22B．﹣42≤b≤42C．﹣22＜b＜22D．﹣42＜

【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．

【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．

在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B（0，b），

当y＝0时，x＝b，则与y轴的交点是A（b，0），则OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，

在Rt△ABC中，AB=