第四章 §4.7 正弦定理、余弦定理.docx
§4.7正弦定理、余弦定理
课标要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝?＝＝
a2＝；?
b2＝；?
c2＝?
变形
(1)a＝2RsinA，
b＝，?
c＝；?
(2)sinA＝a2R
sinB＝，?
sinC＝；?
(3)a∶b∶c＝?
cosA＝；?
cosB＝；?
cosC＝?
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinAab
a≥b
ab
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12aha(ha表示边a上的高)
(2)S＝＝＝；?
(3)S＝(r为三角形的内切圆半径).?
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()
(2)在△ABC中，若sinAsinB，则ab.()
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()
(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形.()
2.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝23，则角B的值为()
A.30°或150° B.60°或120°
C.60° D.30°
3.已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是()
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝，△ABC的面积为.?
1.熟记△ABC中的以下常用结论：
(1)A＋B＋C＝π，A＋
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，ab?AB?sinAsinB，cosAcosB.
(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC.
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
2.谨防两个易误点
(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
题型一利用正弦定理解三角形
例1(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，2bsinC＝csin2B，求△ABC的周长.
思维升华(1)利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
(2)已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤
①由正弦定理asinA＝bsinB，得到
②当sinB1时，无解；当sinB＝1，且ab时，B＝90°，有唯一解；当sinB1时，若a≥b，则有唯一解，若ab，则有两个解.
跟踪训练1(1)(2025·南京统考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acosBsinC＋2bcosAsinC＝c2，则△ABC外接圆的面积是()
A.π8 B.
C.π2 D.
(2)(多选)(2024·金昌模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC解的个数的判断正确的是()
A.当a＝22，c＝4，A＝30°时，有两解
B.当a＝5，b＝7，A＝60°时，有一解
C.当a＝2，b＝4，A＝30°时，无解
D.当a＝6，b＝4，A＝60°时，有两解
题型二利用余弦定理解三角形
例2(1)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝35，则△ABC的面积为(
A.6 B.8
C.24 D.48
(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝cos(B＋C)，且a＝27，bc＝12，则△ABC的周长为.?
思维升华利用余弦定理可解决