第四章 §4.8 正弦定理、余弦定理.docx
§4.8正弦定理、余弦定理
课标要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
(1)a＝2RsinA，
b＝2RsinB，
c＝2RsinC；
(2)sinA＝a
sinB＝b2R，sinC
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
cosA＝b2
cosB＝c2
cosC＝a
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinAab
a≥b
ab
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12aha(ha表示边a上的高)
(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsin
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)
(2)在△ABC中，若sinAsinB，则ab.(√)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(×)
(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC为钝角三角形.(×)
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝7，a＝1，B＝2π3，则c等于
A.5 B.2 C.3 D.3
答案B
解析由余弦定理得cosB＝a2＋c2?b22ac，即－12＝1＋c
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有()
A.一个 B.两个
C.0个 D.不能确定
答案B
解析由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得8022＝100sinB，
因为ab，所以BA，故B有两解，
即符合条件的三角形有两个.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝，△ABC的面积为.?
答案34
解析依题意得cosA＝b
所以sinA＝1?co
所以△ABC的面积为12bcsinA＝15
1.熟记△ABC中的以下常用结论：
(1)A＋B＋C＝π，A
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，ab?AB?sinAsinB，cosAcosB.
(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
(6)三角形的面积S＝p(
(7)在斜△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.
2.谨防两个易误点
(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
题型一利用正弦、余弦定理解三角形
例1(1)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝6，a＝32sinB，则C等于(
A.π4 B.π6 C.π8
答案D
解析在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理，可得cosA＝b2＋
由0Aπ，可得A＝2π
又b＝6，a＝32sinB
由正弦定理得sinB＝b
又sinB0，解得sinB＝2
又0Bπ3，因此B
所以C＝π－A－B＝π12
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于()
A.823 B.1433 C.
答案D
解析因为b＝8，c＝3，A＝60°，
所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a＝7
所以此三角形外接圆的直径2R＝asinA＝73
思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用正弦定理变形公式a＝bsinA
(2)求角：利用正弦定理变形公式sinA＝asin