2014创新设计高中数学﹝苏教版﹞第四章第7讲正弦定理和余弦定理.ppt

第7讲　正弦定理和余弦定理 考点梳理 2Rsin B 2Rsin C b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 4．已知两边和其中一边的对角解三角形时，注意解的情 况．如：已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 　一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 一个命题规律 本讲是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式．客观题以考查正、余弦定理解三角形为主，难度不大；解答题主要与函数结合考查，实现边角互化． 【助学·微博】 考点自测 3．(2012·南京市学情调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则角C＝________. (1)求角B； (2)若a，b，c成等比数列，判断△ABC的形状． 考向一　利用正弦定理求解三角形 [方法总结] (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． (3)综合性问题，可以选用正弦定理，也可能用余弦定理．本小题中的两小题都可以选用余弦定理，且第(2)小题选用余弦定理更为方便． 考向二　利用余弦定理求解三角形 [方法总结] (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2012·扬州中学调研)在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2－ab. 【例3】 (2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 考向三　正、余弦定理的综合应用 [方法总结] 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角． 【训练3】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是 a，b，c. (2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A， 得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即2sin Bcos A＝2sin Acos A， ∴cos A·(sin A－sin B)＝0， ∴cos A＝0或sin A－sin B＝0， 当cos A＝0时，∵0＜A＜π， 当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A， 由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．  考向四　三角函数与解三角形的综合应用 [方法总结] 解三角形问题是历年高考的热点，常与三角恒等变换、三角函数的性质相结合考查正弦、余弦定理的应用，解题的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，在此过程中也常利用三角恒等变换知识进行有关的转化． 解三角形问题，正弦定理和余弦定理都有其适用范围．但对一些综合性问题，是选用正弦定理还是余弦定理，涉及到解题方法的优劣．所以正确选择正弦定理和余弦定理解题是解这类问题的关键． 方法优化3　解三角形中正弦定理和余弦定理的选择 【示例】 (2012·大纲全国卷)在△ABC中，内角A，B，C成 等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A. 高考经典题组训练