高中数学第四单元第七节正弦定理余弦定理.ppt

* 第七节　正弦定理和余弦定理 基础梳理 设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b， c，R是△ABC的外接圆半径． (1)正弦定理 三角形的____________________________，即 ________=________=________=2R. 各边和它所对角的正弦的比相等 (2)正弦定理的三种形式 ①a=________，b=________，c=________(边到角的 转换)； ②sin A=________，sin B=________， sin C=________(角到边的转换)； ③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 　2Rsin C　 　 　 2Rsin A 2Rsin B　 2. 三角形常用面积公式 (1)S= (2)S=________=________=________=________. (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)． a×h(h表示三角形长为a的边上的高)． 3. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于________________________ _______________________________________．即 a2=____________________； b2=____________________； c2=____________________. 其他两边的平方的和 减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 余弦定理也可以写成如下形式 cos A=________；cos B=________； cos C=________. 　 　 4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况． 在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90°，则上述关 系式分别可化为：________，________，________. 　b2=a2+c2　c2=a2+b2 a2=b2+c2 基础达标 1. △ABC的边分别为a、b、c，且a=1，c=4 则△ABC的面积为________． B=45°， 解析： S△ABC= acsin B= sin 45°=2. 2. 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，则cosC的 值为________． 解析：∵sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=3∶2∶4，不妨设a=3， b=2，c=4，则cosC= 3. (必修5P10第2题改编)已知△ABC中，acosA+bcosB=ccosC， 则△ABC的形状为________． 解析：由余弦定理，化简整理可得(a2-b2)2=c4， ∴a2=b2+c2或b2=c2+a2，故△ABC为直角三角形． 4. 设a，b，c是锐角△ABC的角A，B，C的对边，若B=2A，则 的取值范围是________． 解析：由题意和正弦定理，得 又由B=2A且△ABC是锐角三角形， 得 所以 故 的取值范围是 5. (必修5P16第1题改编)在△ABC中，A= a= 则b与c的值分别为________． ，b+c=3， 解析：由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A，即 3=b2+c2-2bccos 也即b2+c2-bc=3，∴(b+c)2=3bc+3， 又∵b+c=3，∴bc=2.于是由 解得 或 经典例题 题型一　正弦定理和余弦定理的应用 【例1】　(2010×天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别 是a，b，c，若a2-b2= bc，sin C=2 sin B，则A=________. 分析：由sin C=2 sin B和正弦定理可求得c=2 由此运用余弦定理可求得cos A的值，进而求出A. b， 解：由sin C=2 sin B结合正弦定理得：c=2 所以由余弦定理得：cos A= ，所以A=30°. b， 变式1-1 (2010×湖北改编)在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则 cos B=________. 解析：根据正弦定理 得 解得sin B= 又因为b＜a，则B＜A， 故B为锐角，所以cos B= 题型二　三角形的面积问题 【例2】　在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a， b，c，已知c=2，C= 若△ABC的面积等于 求a，b. 分析：分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a，b的方程， 然后解方程组得a，b. 解：由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4. ∵△ABC的面积等于 ∴ absin C= ∴ab=4. 联立方程组 解得 变式2-1 在△ABC中，cos A= ，cos B= . (1)求角C； (2)设AB= ，