44 第四章 第7课时 正弦定理、余弦定理.docx
第7课时正弦定理、余弦定理
[考试要求]1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．2．理解三角形的面积公式并能应用．3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
考点一利用正、余弦定理解三角形
正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝bsinB＝
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
(1)a＝2RsinA，
b＝2RsinB，
c＝2RsinC；
(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(3)a+b+csin
cosA＝b2
cosB＝a2
cosC＝a
[常用结论]
(1)三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A+B2
(2)三角形中的三角函数关系
①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；
③sinA+B2＝cosC2；④cosA
[典例1](1)(2024·成都诊断)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若atanB＝203，bsinA＝4，则a的值为(
A．6 B．5
C．4 D．3
(2)(2024·南昌调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA＝3acosC，c＝23，ab＝8，则a＋b的值是()
A．6 B．8
C．4 D．2
(1)B(2)A[(1)由正弦定理得asinA＝bsinB，则bsinA＝asin
又atanB＝203，所以cosB＝3
则sinB＝45，所以a＝5
故选B．
(2)由csinA＝3acosC及正弦定理可得
sinCsinA＝3sinAcosC，
因为sinA≠0，所以sinC＝3cosC，
可得tanC＝3，
又C∈(0，π)，所以C＝π3
又c＝23，ab＝8，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，可得
12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，
所以a＋b＝6．故选A．]
反思领悟解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
巩固迁移1(1)(人教A版必修第二册P48练习T2改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，b＝6，B＝π3，则A＝(
A．π4 B
C．π4或3π4 D．
(2)(2024·江门蓬江区月考)在△ABC中，已知AB＝4，BC＝5，AC＝6，则cosA＝()
A．932 B．
C．916 D．－
(3)在△ABC中，已知三个内角A，B，C满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________．
(1)A(2)C(3)－14[(1)根据正弦定理asinA＝bsinB
故sinA＝22
因为0Aπ，所以A＝π4或3π
又因为ab，所以AB＝π3，故A＝π4．故选
(2)在△ABC中，由余弦定理得cosA＝AB2+AC2-
故选C．
(3)由正弦定理及题意得a∶b∶c＝2∶3∶4，
设a＝2k，k＞0，则b＝3k，c＝4k，
则cosC＝a2+b2-c
射影定理：设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcosC＋ccosB，b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA．
[典例](2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝π5，则B＝(
A．π10 B．
C．3π10 D
C[法一(正弦定理法)：由acosB－bcosA＝c结合正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，
得sin(A－B)＝sinC＝sin(A＋B)，
即sinAcosB－cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinBcosA＝0．
在△ABC中，sinB≠0，∴cosA＝0，即A＝π2
则B＝π－A－C＝π－π2-π5＝3π
法二(余弦定理法)：由acosB－bcosA＝c结合余弦定理的推论得a·a2+c2-b2
化简得b2＋c2＝a2，∴A＝π2
则B＝π－A－C＝π－π2-π5＝3π
法三(射影定理法)：由aco