基础运筹学教程（第三版） 课件 - 第九章 排队论.ppt

*经研究发现，许多排队系统在稳定状态下，其主要数量指标满足如下的Little公式：L=?eWLq=?eWq其中：?e表示单位时间内已经到达并实际进入系统的平均顾客，称为有效到达率。（为简便起见，在具体计算中近似值的计算都采用等号表示）*§9-2Poisson排队系统一、M|M|1|?系统二、M|M|1|N系统三、M|M|c|?系统四、M|M|c|N系统*一、M|M|1|?系统习惯上，将此模型简记M|M|1，此类系统具有下述特性：（1）输入过程{M(t)|t?0}为Poisson过程，平均到达率为?；（2）对每个顾客的服务时间相对独立，且具有同一（负）指数分布，平均服务率为?；（3）单服务员；（4）系统容量无限，因此，每个到达的顾客总能进入系统接受服务或者排队等待，即：?e＝?；（5）到达过程与服务过程相互独立。凡是输入过程为Poission过程，服务时间分布为（负）指数分布的排队系统，称为Poission排队系统。这也是最常见的排队系统。*令：，由Poisson流的特性，可推导出系统状态概率为：?是平均到达率与平均服务率之比，即：在单位时间内顾客到达的平均数与被服务的平均数之比，称为服务强度。当??时，系统正常运行，队长有限；当??时。系统超负荷运行，队长将趋于无限；当?=?时，由于随机性，也将出现队列愈来愈长的情况。所以一般假设?1。*由动态概率Pn可以导出系统的主要稳态性能指标如下：可以证明：在M|M|1系统中，平均等待时间W服从参数为?-?的（负）指数分布。因此可以求出顾客在系统中逗留某一时间界限中的概率，如顾客在系统中逗留时间不超过t小时的概率为：（1）平均系统队长：（2）平均等待队长：（3）平均逗留时间（由Little得出）：（4）平均等待时间（由Little得出）：*例1：市医院某科有1位专家设特需门诊，就诊病人按Poisson过程到达，平均10人/小时，专家诊病时间服从（负）指数分布，平均诊断15人/小时，求该排队系统的主要性能指标。解：首先可以看出这是一个M|M|1系统。已知病人平均到达率?=10人/小时，平均服务时间为?=15人/小时，平均到达率与平均服务率之比?=?/?=10/15=0.67因此可得该排队系统的各项性能指标如下：*在医院（包括等待和正在看病的）的平均人数为：在医院排队候诊的平均人数为：病人为看病耗费的平均时间（平均逗留时间）为：病人等待看病的平均等待时间为：而病人在医院逗留的时间不超过0.2小时的概率为：*二、M|M|1|N系统和前面系统容量为?相比，该系统容量为N，因此，排队等候的人数最多为N-1个，当系统中已有N个顾客时，后来的顾客不再入内而是离开。其他条件与M|M|1系统相同。因此，该系统的状态概率为：这里的?没有限制，不过当?1时，可以明显看出：系统满员的概率，也就是顾客损失率PN将是很大的。*由状态概率Pn可推导出系统的主要稳定性能指标如下。（1）平均系统队长：（2）平均等待队长：（3）平均逗留时间（由Little得出）：（4）平均等待时间（由Little得出）：为了利用Little公式，需要求出有效到达率?e。由?e的定义得：*例2：某照相馆只有1个摄影室，接待厅有6把椅子供顾客排队等待拍照。当这6把椅子都坐满时，后到的顾客就不再等待而离去。顾客按照Poisson过程到达，平均到达率为3人/小时，拍照时间服从（负）指数分布，平均每人耗时15分钟，求：（1）顾客来拍照不必等待的概率；（2）在照相馆内的平均顾客数；（3）顾客在照相馆内的平均逗留时间；（4）在可能到来的顾客中不等待就离去者占多少？*（1）顾客来拍照不必等待的概率即为状态概率P0则根据状态概率公式，当??1时：（2）在照相馆内的平均顾客数为（??1时）：解：首先判断出这是一个M|M|1|N系统。其中：N=7，?=3/小时，?=4人/小时，?=?/?=3/4=0.75其它参数指标计算如下。*（3）顾客在照相馆内的平均逗留时间先求得顾客的有效到达率为：则顾客在照相馆内的平均逗留时间为：（4）在可能到来的顾客中不等待就离去者占多少？由“系统满员的概率，也就是顾客损失率PN”得：离去者的百分比等于系统